УДК 519.642.5
MSC: 45D05
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-216-225
Полный текст статьи (Full text)
Исследование выполнено в Институте динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-11-00173), https://rscf.ru/project/22-11-00173/
В статье рассматриваются линейные двумерные интегральные уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним и верхним пределами интегрирования, возникающие при описании переходных процессов нелинейной динамической системы, представленной в виде конечного отрезка (полинома) интегро-степенного ряда Вольтерра. Приведен новый способ идентификации симметричных ядер в квадратичном полиноме Вольтерра, в котором входной x(t) и выходной y(t) сигналы — скалярные функции времени. Тестовые сигналы, используемые для решения этой задачи, выбраны из класса кусочно-линейных функций, что объясняется спецификой исследуемых технических систем типа “вход-выход”. Данная постановка развивает подход на базе тестовых сигналов в виде комбинаций функций Хевисайда, реализованный в публикациях А.С. Апарцина. Для выделенного класса неклассических уравнений Вольтерра I рода получена явная формула обращения. Доказаны утверждения о существовании и единственности решения соответствующих интегральных уравнений.
Ключевые слова: нелинейная динамическая система, идентификация, уравнения Вольтерра
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 543 с.
2. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 302 с.
3. Boyd S., Chua L.O., Desoer C.A. Analytical foundations of Volterra series // IMA J. Math. Control. Inf. 1984. Vol. 1, no. 3. P. 243–282. doi: 10.1093/IMAMCI/1.3.243
4. Cheng C.M., Peng Z.K., Zhang W.M., Meng G. Volterra-series-based nonlinear system modeling and its engineering applications: A state-of-the-art review // Mech. Syst. Signal Process. 2017. Vol. 87. P. 340–364. doi: 10.1016/j.ymssp.2016.10.029
5. Солодуша С.В., Гражданцева Е.Ю. Тестовое полиномиальное уравнение Вольтерра I рода в задаче идентификации входных сигналов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 161–174. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-161-174
6. Абас В.М.А., Арутюнян Р.В. Анализ и оптимизация нелинейных систем с памятью на основе интегро-функциональных рядов Вольтерра и методов Монте-Карло // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2021. № 3(211). С. 30–34. doi: 10.17213/1560-3644-2021-3-30-34
7. Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to theory and applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2017. 387 p. doi: 10.1017/9781316162491
8. Асанов А.А., Чоюбеков С.М. Решение неклассических интегральных уравнений Вольтерра I рода с вырожденным нелинейным ядром // Междунар. науч.-исслед. журнал. 2018. № 4(70). С. 134–138. doi: 10.23670/IRJ.2018.70.029
9. Глушков В.М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей // Управляющие системы и машины. 1977. № 2. С. 3–6.
10. Бойков И.В., Тында А.Н. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 9. С. 1214–1223.
11. Markova E.V., Sidler I.V. Numerical solution of the age structure optimization problem for basic types of power plants // Yugosl. J. Oper. Res. 2019. Vol. 29, no. 1. P. 81–92. doi: 10.2298/YJOR171015009M
12. Волкодавов В.Ф., Родионова И.Н. Формулы обращения некоторых двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Известия высших учебных заведений. Математика. 1998. № 9. С. 30–32.
13. Апарцин А.С. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода в теории развивающихся систем // Численные методы оптимизации и анализа. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1992. С. 58–67.
14. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999. 193 с.
15. Bulatov M.V., Machkhina M.N., Phat V.N. Existence and uniqueness of solutions to nonlinear integral-algebraic equations with variable limits of integrations // Commun. Appl. Nonlinear Anal. 2014. Vol. 21, no. 1. P. 65–76.
16. Ботороева М.Н., Булатов М.В. Приложения и методы численного решения одного класса интегро-алгебраических уравнений с переменными пределами интегрирования // Известия Иркут. гос. ун-та. Серия Математика. 2017. Т. 20. С. 3–16. doi: 10.26516/1997-7670.2017.20.3
17. Апарцин А.С. Новый алгоритм моделирования нелинейных динамических систем на базе полиномов Вольтерра // Оптимизация, управление, интеллект. 2000. № 5. С. 26–32.
18. Новиков С.П. Практическая идентификация динамических характеристик объектов управления теплоэнергетического оборудования. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. 64 с.
19. Апарцин А.С. О новых классах линейных многомерных уравнений I рода типа Вольтерра // Известия высших учебных заведений. Математика. 1995. № 11. С. 28–41.
20. Solodusha S.V. New classes of Volterra integral equations of the first kind related to the modeling of the wind turbine dynamics // 15th Intern. Conf. Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy’s Conference). 2020. Art. no. 9140662. doi: 0.1109/STAB49150.2020.914066
Поступила 31.07.2022
После доработки 12.10.2022
Принята к публикации 17.10.2022
Солодуша Светлана Витальевна
д-р техн. наук, доцент
Институт систем энергетики имени Л.А. Мелентьева СО РАН
Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: solodusha@isem.irk.ru
Ссылка на статью: С.В. Солодуша. О новом классе двумерных интегральных уравнений I рода типа Вольтерра с переменными пределами интегрирования // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 216-225
English
S.V. Solodusha. On a new class of two-dimensional Volterra integral equations of the first kind with variable limits of integration
The paper deals with linear two-dimensional Volterra integral equations of the first kind with variable lower and upper limits of integration. Such equations arise when describing the transient processes of a nonlinear dynamic system, represented as a finite segment (a polynomial) of the Volterra integro-power series. A new method for identifying symmetric kernels in the quadratic Volterra polynomial is presented, in which the input x(t) and output y(t) signals are scalar functions of time. The test signals used to solve this problem are chosen from the class of piecewise linear functions, which is explained by the specifics of the studied technical systems of the “input–output” type. This statement develops the approach based on test signals in the form of combinations of Heaviside functions and presented in the publications of A.S. Apartsyn. An explicit inversion formula is derived for a selected class of nonclassical Volterra equations of the first kind. Results about the existence and uniqueness of solutions of the corresponding integral equations are proved.
Keywords: nonlinear dynamic system, identification, Volterra equations
Received July 31, 2022
Revised October 12, 2022
Accepted October 17, 2022
Funding Agency: This work was carried out at Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-11-00173).
Svetlana Vital’evna Solodusha, Dr. Technic. Sci., Melentiev Energy Systems Institute of the Siberian Branch of the Russian Academy of Science; Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: solodusha@isem.irk.ru
Cite this article as: S.V. Solodusha. On a new class of two-dimensional Volterra integral equations of the first kind with variable limits of integration. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 216–225.
[References -> on the "English" button bottom right]
