УДК 517.51
MSC: 42A16; 42C40, 41A05
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-286-300
В работе представлены исследования разложения элементов пространств $ L_p(0,1)$, $ 0< p < 1 $, по системам функций, полученным из сжатий и сдвигов одной функции. Разработаны новые алгоритмы разложения по этим системам в ряды типа Фурье с целыми коэффициентами. Разложения элементов указанных пространств предложенными методами обладают свойством сжатия образов, что выражается в обращении в нуль большого числа коэффициентов разложения. Эти результаты могут вызвать интерес у специалистов по передаче и обработке цифровой информации, у исследователей, у которых возникает потребность в разложении несуммируемых функций в ряды по системам из сжатий и сдвигов одной функции.
Ключевые слова: функциональные системы из сжатий и сдвигов одной функции пространства $ L_p(0,1),$ $0< p < 1 $, ряды типа Фурье с целыми коэффициентами, цифровая обработка, передача информации
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Filippov V.I., Oswald P. Representation in $L_p$ by series of translates and dilates of one function // J. Approx. Theory. 1995. Vol. 82, no. 1. P. 15–29.
2. Филиппов В.И. Системы представления, полученные из сжатий и сдвигов одной функции в многомерных пространствах $E_{\varphi}$ // Изв. РАН. Сер. математическая. 2012. Т. 76, № 6. С. 193–206.
3. Филиппов В.И. Об обобщениях системы Хаара и других систем функций в пространствах $E_{\varphi}$ // Изв. вузов. Математика. 2018. Т. 62, № 1. С. 87–92.
4. Филиппов В.И. Ряды типа Фурье с целыми коэффициентами по системам из сжатий и сдвигов одной функции в пространствах $L_p,\, p\ge 1$ // Изв. вузов. Математика. 2019. Т. 63, № 6. С. 58–64.
5. Филиппов В.И. Алгоритмизация целочисленного разложения элементов пространств $ L_p, 0 < p < 1$, использование программного обеспечения в виде пакета программ Matlab // Вестн. СГТУ им. Гагарина Ю.А. 2021. Т. 90, № 3. С. 52–61.
6. Fekete M. Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten // Math. Zeitschrift. 1923. Bd. 17. P. 228–249. doi: 10.1007/BF01504345
7. Альпер С.Я. О приближении функций многочленами с целыми коэффициентами на замкнутых множествах // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1964. Т. 28, № 5. С. 1173–1186.
8. Бородин П.А., Шкляев К.С. Плотность квантованных приближений // Успехи мат. наук. 2023. Т. 78, вып. 5. С. 3–64. doi: 10.4213/rm10115
9. Benedetto J.J., Njeunje F.O.N. Haar approximation from within for $L_p({\mathbb R}^d),$ $0<p<1$ // Sampl. Theory Signal Process. Data Anal. 2021. Vol. 19, art. no. 2. 10.1007/s43670-020-00001-z
10. Benedetto J.J. Noise reduction in terms of the theory of frames // Wavelet Anal. Appl. Vol. 7. NY: Academic, 1998. P. 259–284. doi: 10.1016/S1874-608X(98)80010-1
11. Арестов В.В. О неравенствах Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1289–1292.
12. Арестов В.В. Неравенство Сеге для производных сопряженного тригонометрического полинома в $L_0$ // Мат. заметки. 1994. Т. 56, №. 6. С. 10–26.
13. Голубов Б.И. О существовании базисов из сдвигов функций в однородных пространствах // Збiрник праць Iн-ту математики НАН Украiни. 2008. vol. 5, no. 1, pp. 104–112.
14. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 444 с.
15. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.
16. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сб. 1964. Т. 63, № 3. С. 356–391.
Поступила 21.08.2024
После доработки 4.11.2024
Принята к публикации 18.11. 2024
Филиппов Вадим Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Поволжский институт управления им. П.А. Столыпина,
e-mail: 888vadim@mail.ru
Ссылка на статью: В.И. Филиппов. Целочисленное разложение элементов пространств несуммируемых функций в ряды типа Фурье по системам из сжатий и сдвигов одной функции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 286-300
English
V.I. Filippov. Integer expansion of elements from spaces of nonintegrable functions into Fourier-type series in systems of contractions and shifts of one function
We present results on the expansion of elements of the spaces $L_p(0,1)$, $0 <p <1 $, into systems of functions that are contractions and shifts of one function. New algorithms are designed for the expansion of functions into Fourier-type series in these systems with integer coefficients. The expansions produced by the proposed methods have the property of image compression, i.e., a large number of expansion coefficients are zeros. The results may be of interest to specialists in the transmission and processing of digital information and to other researchers who have a need to expand nonintegrable functions into series in systems of contractions and shifts of one function.
Keywords: functional systems of contractions and shifts of one function of the space $L_p (0,1)$ with $0<p<1$, Fourier-type series with integer coefficients, digital processing, information transmission
Received August 21, 2024
Revised November 4, 2024
Accepted November 18, 2024
Vadim Ivanovich Filippov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Povolzhsky Institute of Management named after P.A. Stolypin, Saratov, 410031 Russia, email: 888vadim@mail.ru
Cite this article as: V.I. Filippov. Integer expansion of elements from spaces of nonintegrable functions into Fourier-type series in systems of contractions and shifts of one function. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 286–300.
[References -> on the "English" button bottom right]
