УДК 517.977.8
MSC: 52A30
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-276-285
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-21-00424, https://rscf.ru/project/24-21-00424/.
Усилено известное соотношение между $\alpha$-множествами и слабо выпуклыми по Виалю множествами в евклидовых пространствах размерности больше двух. А именно, в формуле, описывающей соотношение мер невыпуклости $\alpha$-множеств и слабо выпуклых множеств, удвоенный чебышевский радиус заменен на диаметр множества с коэффициентом. Тем не менее в двумерном пространстве соответствующая оценка выражается через диаметр множества без коэффициента и является точнее. В связи с этим вопрос о возможности дальнейшего уточнения оценки степени невыпуклости $\alpha$ через параметр слабой выпуклости $R$ и диаметр множества в евклидовых пространствах размерности больше двух остается открытым.
Ключевые слова: $\alpha$-множество, слабо выпуклое множество, обобщенно выпуклое множество, диаметр множества, чебышевский радиус, выпуклая оболочка
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Успенский А.А., Ушаков В.Н., Фомин А.Н. $\alpha$-Множества и их свойства / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2004. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 02.04.2004, № 543-В2004.
2. Зелинский Ю.Б. Выпуклость. Избранные главы / Институт математики НАН Украины. Киев, 2012. 280 с.
3. Michael E. Paraconvex sets // Mathematica Scandinavica. 1959. Vol. 7, no. 2. P. 312–315.
4. Ngai H.V., Penot J.-P. Paraconvex functions and paraconvex sets // Studia Mathematica. 2008. Vol. 184, no. 1. P. 1–29.
5. Семенов П.В. Функционально паравыпуклые множества // Мат. заметки. 1993. Т. 54, № 6. С. 74–81.
6. Иванов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. М.: Физматлит, 2006.
7. Ушаков В.Н., Ершов А.А. Оценка роста степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем в терминах $\alpha$-множеств // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 495. С. 73–79.
8. Ушаков В.Н., Ершов А.А., Матвийчук А.Р. Об оценке степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем // Тр. МИАН. 2021. Т. 315. С. 261–270.
9. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Теоремы об отделимости $\alpha$-множеств в евклидовом пространстве // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. С. 277–291.
10. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2007. 438 с.
11. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Ершов А.А. Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их приложения в теории управления // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14, вып. 3. С. 261–272.
12. Гаркави А.Л. О чебышевском центре и выпуклой оболочке множества // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19, № 6. С. 139–145.
Поступила 30.05.2024
После доработки 9.07.2024
Принята к публикации 15.07.2024
Ушаков Владимир Николаевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ushak@imm.uran.ru
Ершов Александр Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ale10919@yandex.ru
Ссылка на статью: В.Н. Ушаков, А.А. Ершов. О соотношении между $\alpha$-множествами и слабо выпуклыми множествами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 276-285
English
V.N. Ushakov, A.A. Ershov. On the relation between $\alpha$-sets and weakly convex sets
The known relation between $\alpha$-sets and Vial weakly convex sets in Euclidean spaces of dimension greater than two is strengthened. Namely, in the formula describing the relationship between nonconvexity measures for $\alpha$-sets and weakly convex sets, the double Chebyshev radius is replaced by the diameter of the set with a coefficient. However, in the two-dimensional space the corresponding estimate is expressed in terms of the set diameter without a coefficient and is more accurate. In this connection, the question of the possibility of further refinement of the estimate for the nonconvexity degree $\alpha$ in terms of the weak convexity parameter $R$ and the set diameter in Euclidean spaces of dimension greater than two remains open.
Keywords: $\alpha$-set, weakly convex set, generalized convex set, diameter of a set, Chebyshev radius, convex hull
Received May 30, 2024
Revised July 9, 2024
Accepted July 15, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 24-21-00424, https://rscf.ru/en/project/24-21-00424/).
Vladimir Nikolaevich Ushakov, Corresponding member of RAS, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ushak@imm.uran.ru
Aleksandr Anatol’evich Ershov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ale10919@yandex.ru
Cite this article as: V.N. Ushakov, A.A. Ershov. On the relation between $\alpha$-sets and weakly convex sets. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 276–285.
[References -> on the "English" button bottom right]
