УДК 517.9
MSC: 35R09, 35R11, 34G10
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-243-258
Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 24-21-20015, https://rscf.ru/project/24-21-20015/) и поддержана Правительством Челябинской области.
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S99–S113. (Abstract)
Изучены вопросы существования и единственности решения задачи Коши для разрешенного относительно интегро-дифференциального оператора типа Герасимова первого порядка линейного уравнения в банаховом пространстве с замкнутым оператором при неизвестной функции. Исследованы свойства разрешающих семейств операторов однородных уравнений. Показано, что секториальность, т. е. принадлежность введенному здесь классу операторов $\mathcal A_K$, является необходимым и достаточным условием существования аналитического в секторе разрешающего семейства операторов. Получена теорема о возмущении операторов класса $\mathcal A_K$, доказаны две версии теоремы о существовании и единственности решения линейного неоднородного уравнения. Абстрактные результаты использованы для исследования начально-краевых задач для уравнения с производной Прабхакара по времени и для системы уравнений в частных производных с производными Герасимова — Капуто различного порядка по времени.
Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, производная Герасимова — Капуто, задача Коши, секториальный оператор, разрешающее семейство операторов, начально-краевая задача
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
4. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c.
5. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier Science Publ., 2006. 540 p. ISBN-13: 978-0444518323
6. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
7. Tarasov V.E. Fractional dynamics: Applications of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media. NY: Springer, 2011. 505 p. ISBN 978-3-642-14003-7
8. Dа Prato G., Iannelli M. Linear integro-differential equations in Banach spaces // Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 1980. Tome 62. P. 207–219.
9. Prüss J. Evolutionary integral equations and applications. Basel: Springer, 1993. 366 p. doi: 10.1007/978-3-0348-0499-8
10. Kostić M. Abstract Volterra integro-differential equations. Boca Raton: CRC Press, 2015. 484 p. doi: 10.1201/b18463
11. Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel // Progress in Fractional Differentiation and Applications. 2015. Vol. 1, no. 2. P. 73–85. doi: 10.12785/pfda/010201
12. Atangana A., Baleanu D. New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model // Thermal Science. 2016. Vol. 20. P. 763–769. doi: 10.2298/TSCI160111018A
13. Fedorov V.E., Godova A.D., Kien B.T. Integro-differential equations with bounded operators in Banach spaces // Bulletin Karaganda Univ. Math. ser. 2022. No. 2 (106). P. 93–107. doi: 10.31489/2022M2/93-107
14. Федоров В.Е., Годова А.Д. Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах и аналитические разрешающие семейства операторов // Соврем. математика. Фундамент. направления. 2023. Т. 69, № 1. С. 166–184. doi: 10.22363/2413-3639-2023-69-1-166-184
15. Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Basel: Springer, 2011. 539 p. doi: 10.1007/978-3-0348-0087-7
16. Pazy A. Semigroups and linear operators and applications to partial differential equations. NY: Springer, 1983. 279 p. doi: 10.1007/978-1-4612-5561-1
17. Bajlekova E.G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thesis. Eindhoven: Eindhoven University of Technology, 2001. 107 p.
18. Fedorov V.E., Filin N.V. On strongly continuous resolving families of operators for fractional distributed order equations // Fractal and Fractional. 2021. Vol. 5, no. 1. Art. no. 20. 14 p. doi: 10.3390/fractalfract5010020
19. Sitnik S.M., Fedorov V.E., Filin N.V., Polunin V.A. On the solvability of equations with a distributed fractional derivative given by the Stieltjes integral // Mathematics. 2022. Vol. 10, no. 16. Art. no. 2979. 20 p. doi: 10.3390/math10162979
20. Fedorov V.E., Plekhanova M.V., Izhberdeeva E.M. Analytic resolving families for equations with the Dzhrbashyan–Nersesyan fractional derivative // Fractal and Fractional. 2022. Vol. 6, no. 10. Art. no. 541. 16 p. doi: 10.3390/fractalfract6100541
21. Бойко К.В. Линейные и квазилинейные уравнения с несколькими производными Герасимова — Капуто // Челяб. физ.-мат. журн. 2024. Т. 9, вып. 1. C. 5–22. doi: 10.47475/2500-0101-2024-9-1-5-22
22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 c.
23. Prabhakar T.R. A singular integral equation with a generalized Mittag–Leffler function in the kernel // Yokohama Math. J. 1971. Vol. 19. P. 7–15.
24. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 c.
Поступила 11.03.2024
После доработки 14.03.2024
Принята к публикации 18.03.2024
Федоров Владимир Евгеньевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры математического анализа
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: kar@csu.ru
Годова Александра Даниловна
аспирант
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: sasha.godova97@mail.ru
Ссылка на статью: В.Е. Федоров, А.Д. Годова. Интегро-дифференциальные уравнения типа Герасимова с секториальными операторами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 243-258
English
V.E. Fedorov, A.D. Godova. Integro-differential equations of Gerasimov type with sectorial operators
The issues of existence and uniqueness of a solution to the Cauchy problem are studied for a linear equation in a Banach space with a closed operator at the unknown function that is resolved with respect to a first-order integro-differential operator of the Gerasimov type. The properties of resolving families of operators of the homogeneous equations are investigated. It is shown that sectoriality, i.e., belonging to the class of operators $\mathcal A_K$ introduced here, is a necessary and sufficient condition for the existence of an analytical resolving family of operators in a sector. A theorem on the perturbation of operators of the class $\mathcal A_K$ is obtained, and two versions of the theorem on the existence and uniqueness of a solution to a linear inhomogeneous equation are proved. Abstract results are used to study initial—boundary value problems for an equation with the Prabhakar time derivative and for a system of partial differential equations with Gerasimov—Caputo time derivatives of different orders.
Keywords: integro-differential equation, Gerasimov–Caputo derivative, Cauchy problem, sectorial operator, resolving family of operators, initial–boundary value problem
Received March 11, 2024
Revised March 14, 2024
Accepted March 18, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 24-21-20015, https://rscf.ru/project/24-21-20015/) and by the Government of the Chelyabinsk region.
Vladimir Evgenyevich Fedorov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: kar@csu.ru
Aleksandra Danilovna Godova, doctoral student, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: sasha.godova97@mail.ru
Cite this article as: V.E. Fedorov, A.D. Godova. Integro-differential equations of Gerasimov type with sectorial operators. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 243–258. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S99-S113.
[References -> on the "English" button bottom right]
