УДК 512.55
MSC: 16Y60
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-190-202
В статье получено функциональное (пучковое) представление $pq$-бэровского полукольца с инволюцией ($*$-полукольца). Для $*$-полукольца вводятся понятия центрального и центрального первичного идеалов. Множество ${\rm Sp}\,S$ всех центральных первичных идеалов $pq$-бэровского $*$-полукольца с топологией Зарисского становится нульмерным компактным хаусдорфовым пространством. На ${\rm Sp}\,S$ как на базисном пространстве строится пучок $*$-полуколец $(\mathbb{L}(S), {\rm Sp}\,S)$. Доказано, что произвольное $pq$-бэровское $*$-полукольцо $*$-изоморфно $*$-полукольцу всех глобальных сечений пучка $\mathbb{L}(S)$. Сформулированы открытые вопросы.
Ключевые слова: полукольцо с инволюцией, $pq$-бэровское $*$-полукольцо, пучковое представление
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Салавова К. Кольца с инволюцией: дис. …канд. физ.-матем. наук / МГУ имени М.В. Ломоносова. Москва, 1978.
2. Pierce R.S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 70. P. 1–112. doi: 10.1090/memo/0070
3. Тюкавкин Д.В. Аналог пирсовских пучков для колец с инволюцией // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38, № 5 (233). С. 209–210. doi: 10.1070/RM1983v038n05ABEH003520
4. Марков Р.В. Пирсовское представление полуколец с инволюцией // Изв. вузов. Математика. 2014. № 4. C. 18–24. doi: 10.3103/S1066369X14040033
5. Lambek J. On representation of modules by sheaves of factor modules // Can. Math. Bull. 1971. Vol. 14, no. 3. P. 359–368. doi: 10.4153/CMB-1971-065-1
6. Чермных В.В. Функциональные представления полуколец // Фундамент. и прикл. математика. 2012. Т. 17, № 3. С. 111–227. doi: 10.1007/s10958-012-1062-2
7. Kaplansky I. Rings of operators. NY; Amsterdam: W.A.Benjamin, Inc, 1968. ISBN: 9780805352085
8. Clark W.E. Twisted matrix units semigroup algebras // Duke Math. J. 1967. Vol. 34, no. 3. P. 417–423. doi: 10.1215/S0012-7094-67-03446-1
9. Birkenmeier G.F., Kim J.Y., Park J.K. Principally quasi-Baer rings // Comm. Algebra. 2001. Vol. 29, no. 2. P. 639–660. doi: 10.1081/AGB-100001530
10. Марков Р.В., Чермных В.В. Полукольца, близкие к регулярным, и их пирсовские слои // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 3. С. 213–221.
11. Бабенко М.В., Чермных В.В. Пирсовские слои полуколец косых многочленов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 48–60. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-48-60
12. Golan J.S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.1999. XII, 382 p. doi: 10.1007/978-94-015-9333-5
13. Hofmann K.H. Representations of algebras by continuous sections // Bulletin American Math. Soc. 1972. Vol. 78, no. 3. P. 291–374. doi: 10.1090/s0002-9904-1972-12899-4
14. Davey B.A. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras // Math. Z. 1973. Vol. 134, no. 4. P. 275–290. doi: 10.1007/BF01214692
15. Khairnar A., Waphare B.N. A sheaf representation of principally quasi-Baer $*$-Rings // Algebras and Representation Theory. 2019. Vol. 22, no. 1. P. 79–97. doi: 10.1007/s10468-017-9758-0
16. Birkenmeier G.F., Kim J.Y., Park J.K. A sheaf representation of quasi-Baer rings // J. Pure Appl. Algebra. 2000. Vol. 146, no. 3. P. 209–223. doi: 10.1016/S0022-4049(99)00164-4
17. Ahmadi M., Golestani N., Moussavi A. Generalized quasi-Baer $*$-rings and Banach $*$-algebras // Communications in Algebra. 2020. Vol. 48, no. 5. P. 2207–2247. doi:10.1080/00927872.2019.1710841
Поступила 27.10.2023
После доработки 21.11.2023
Принята к публикации 4.12.2023
Протасов Никита Сергеевич
аспирант
Сыктывкарский государственный университет
имени Питирима Сорокина
г. Сыктывкар
e-mail: protasovnekit@gmail.com
Чермных Василий Владимирович
д-р. физ.-мат. наук
главный науч. сотрудник
Сыктывкарский государственный университет
имени Питирима Сорокина
г. Сыктывкар
e-mail: vv146@mail.ru
Ссылка на статью: Н.С. Протасов, В.В. Чермных. О пучковом представлении $pq$-бэровского полукольца с инволюцией // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 190-202
English
N.S. Protasov, V.V. Chermnykh. On the sheaf representation of a $pq$-Baer $*$-semiring with involution
In the paper, a functional (sheaf) representation of a $pq$-Baer $*$-semiring with involution is obtained. For a $*$-semiring, the notions of central and central prime ideals are introduced. The set ${\rm Sp}\,S$ of all central prime ideals of a $pq$-Baer $*$-semiring with the Zariski topology becomes a zero-dimensional compact Hausdorff space. The sheaf $(\mathbb{L}(S), {\rm Sp}\,S)$ of $*$-semirings is constructed on ${\rm Sp}\,S$ as a basis space. It is proved that an arbitrary $pq$-Baer $*$-semiring is $*$-isomorphic to the $*$-semiring of all global sections of the sheaf $\mathbb{L}(S)$. Open questions are formulated.
Keywords: semiring with involution, $pq$-Baer $*$-semiring, sheaf representation
Received October 27, 2023
Revised November 21, 2023
Accepted December 4, 2023
Nikita Sergeevich Protasov, doctoral student, Pitirim Sorokin Syktyvkar State University, Syktyvkar, 167001 Russia, e-mail: protasovnekit@gmail.com
Vasiliy Vladimirovich Chermnykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Pitirim Sorokin Syktyvkar State University, Syktyvkar, 167001 Russia, e-mail: vv146@mail.ru
Cite this article as: N.S. Protasov, V.V. Chermnykh. On the sheaf representation of a $pq$-Baer $*$-semiring with involution. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 190–202.
[References -> on the "English" button bottom right]
