УДК 517.5
MSC: 32E30, 41A20
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-170-189
Работа выполнена при финансовой поддержке государственной программы научных исследований “Конвергенция 2020”, № 20162269 (Республика Беларусь).
Исследуются рациональные аппроксимации непрерывных функций и функций со степенной особенностью на отрезке посредством интегральных операторов типа Фейера. Получены оценки сверху приближений непрерывных функций на отрезке, выраженные через модуль непрерывности и зависящие от положения точки на отрезке. Изучены рациональные аппроксимации на отрезке $[-1, 1]$ функции $(1-x)^\gamma, \gamma \in (0,1).$ Найдены оценки сверху равномерных приближений посредством соответствующей мажоранты, асимптотическое выражение при $n \to \infty$ этой мажоранты. В случае фиксированного количества полюсов аппроксимирующей функции установлены оптимальные значения параметров, при которых обеспечивается наибольшая скорость убывания мажоранты равномерных приближений. Следствием полученных результатов являются асимптотические оценки приближений некоторых индивидуальных функций суммами Фейера полиномиальных рядов Фурье - Чебышёва.
Ключевые слова: рациональные аппроксимации, интегральный оператор Фейера, поточечные и равномерные оценки приближений, модуль непрерывности, функция со степенной особенностью, асимптотические оценки
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fejér L. Untersuchungen über Fouriersche Reihen // Mathematische Annalen. 1904. Vol. 58. P. 51–69.
2. Lebesgue H. Sur les intégrales singuliéres // Annales de la faculté des sciences de Toulouse 3e série. 1909. T. 1. P. 25–117.
3. Bernstein S. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomés de degré donné. Bruxelles : Hayez, imprimeur des academies royales, 1912. 104 p.
4. Приваловъ И.И. О приближенiи суммами Fejer’a функцiй удовлетворяющихъ условiю Lipschitz’a // Мат. сб. 1918. Т. 30, № 4. С. 521–526.
5. Никольский С.М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1940. Т. 4, № 6. С. 501–508.
6. Zygmund A. On the degree of approximation of functions by Fejér means // Bull. Amer. Soc. 1945. Vol. 51, iss. 4. P. 274–278.
7. Новиков О. А., Ровенская О.Г. Приближение классов интегралов Пуассона суммами Фейера // Донбасский гос. пед. ун-т. Компьютерные исследования и моделирование. 2015. Т. 7, № 4. С. 813–819.
8. Ефимов А.В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22, № 1. С. 81–116.
9. Лебедь Г.К., Авдеенко А.А. О приближении периодических функций суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1971. Т. 35, № 1. С. 83–92.
10. Савчук В.В. Приближения средними Фейера функций класса Дирихле // Мат. заметки. 2007. Т. 81, № 5. С. 744–750.
11. Джрбашян М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. 1956. Т. 9, № 7. С. 1–27.
12. Русак В.Н. О приближении рациональными дробями // Докл. АН БССР. 1964. Т. 8, № 7. С. 432–435.
13. Русак В.Н. О приближении рациональными функциями на вещественной оси // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. 1974. № 1. С. 22–28.
14. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Мн. : Изд-во БГУ, 1979. 179 с.
15. Китбалян А.А. Об одном обощении ядра Фейера // Докл. АН Арм. ССР. 1979. Т. 69, № 1. С. 8–14.
16. Ровба Е.А. Рациональные интегральные операторы на отрезке // Вестн. БГУ. 1996. Т. 1, № 1. С. 34–39.
17. Ровба Е.А. О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации // Докл. Национал. академии наук Беларуси. 1998. Т. 42, № 4. С. 13–17.
18. Смотрицкий К.А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке // Вестн. БГУ. 2005. Т. 1, № 3. С. 64–70.
19. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Ч. 1. М.; Л. : Главная редакция общетехнической литературы, 1937. 203 с.
20. Ибрагимов И.И. Об асимптотическом значении наилучшего приближения функций, имеющих вещественную особую точку // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1946. Т. 10, № 5. С. 429–460.
21. Никольский С.М. О наилучшем приближении многочленами в среднем функции $|a-x|^s$ // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1947. Т. 11, № 2. С. 139–180.
22. Reddy A.R. A Note on rational approximation to $(1 - x)^{1/2}$ // J. Approx. Theory. 1979. Vol. 25, iss. 1. P. 31–33. doi: 10.1016/0021-9045(79)90030-3
23. Bundschuh P.A. Remark on Reddy’s paper on the rational approximation of $(1 - x)^{1/2}$ // J. Approx. Theory. 1981. Vol. 32, iss. 3. P. 167–169. doi: 10.1016/0021-9045(81)90113-1
24. McD. Mercer A. A note on rational approximation to $(1 -x)^\alpha$ // J. Approx. Theory. 1983. Vol. 38, iss. 1. P. 101–103. doi: 10.1016/0021-9045(83)90146-6
25. Reddy A.R. A note on rational approximation to $(1 - x)^\sigma$ // J. Approx. Theory. 1987. Vol. 49, iss. 4. P. 404–407. doi: 10.1016/0021-9045(87)90078-5
26. Alzer H. On rational approximation of $(1 - x)^\sigma$ // Archiv der Mathematik. 1996. Vol. 67, iss. 2. P. 134–137. doi: 10.1007/BF01268927
27. Andersson J.-E. Best Rational Approximation to Markov Functions // J. Approx. Theory. 1994. Vol. 76, iss. 1. P. 219–232. doi: 10.1006/jath.1994.1015
28. Пекарский А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, № 2. С. 121–132.
29. Patseika P.G., Rouba Y.A., Smatrytski K.A. On one rational integral operator of Fourier–Chebyshev type and approximation of Markov functions // J. of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2020. Vol. 2. P. 6–27. doi: 10.33581/2520-6508-2020-2-6-27
30. Ровба Е.А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации // Докл. Национал. академии наук Беларуси. 1979. Т. 23, № 11. С. 968–971.
31. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. О рациональных суммах Абеля— Пуассона на отрезке и аппроксимациях функций Маркова // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2021. Т. 3. С. 6–24. doi: 10.33581/2520-6508-2021-3-6-24
32. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. О рациональных аппроксимациях функции Маркова на отрезке суммами Фейера с фиксированным количеством полюсов // Тр. института математики. 2022. Т. 30, № 1–2. С. 57–77.
33. Мисюк В.Р. Об наилучшем приближении степенной функции в пространстве Бергмана // Тр. Математического центра имени Н. И. Лобачевского / Казанское мат. об-во. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы Тринадцатой междунар. Казанской летней науч. шк.-конф. Казань : Изд-во Казан. мат. об-ва, Изд-во Академии наук РТ, 2017. Т. 54 C. 257–259.
34. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного. М. : ГИФМЛ, 1960. 624 с.
35. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М. : Наука, 1965. 408 с.
36. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М. : Наука, Гл. ред. Физ-мат. лит-ры, 1989. 480 с.
37. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. Суммы Фейера рационального ряда Фурье — Чебышёва и аппроксимации функции $|x|^s$ // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2019. № 3. С. 18–34. doi: 10.33581/2520-6508-2019-3-18-34
Поступила 15.05.2023
После доработки 18.12.2023
Принята к публикации 25.12.2023
Поцейко Павел Геннадьевич
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики
Гродненский государственный университет имени Янки Купалы
г. Гродно (Республика Беларусь)
e-mail: pahamatby@gmail.com
Ровба Евгений Алексеевич
д-р. физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой фундаментальной и прикладной математики
Гродненский государственный университет имени Янки Купалы
г. Гродно (Республика Беларусь)
e-mail: rovba.ea@gmail.com
Ссылка на статью: П.Г. Поцейко, Е.А. Ровба. Рациональный интегральный оператор Фейера на отрезке и аппроксимации функций со степенной особенностью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 170-189
English
P.G. Potseiko, E.A. Rovba. A Fejér rational integral operator on a closed interval and approximation of functions with a power-law singularity
Rational approximations of continuous functions and functions with a power-law singularity on a closed interval are studied by means of integral Fejér-type operators. Upper estimates of approximations of continuous functions on a closed interval are derived; the estimates are expressed in terms of the modulus of continuity and depend on the position of a point in the interval. Rational approximations of the function $(1-x)^\gamma$, $\gamma\in (0,1)$, on the interval $[-1,1]$ are studied. Upper estimates of uniform approximations in terms of the corresponding majorant and an asymptotic expression as $n\to\infty$ of this majorant are found. In the case of a fixed number of poles of the approximating function, optimal values of the parameters are obtained, for which the majorant of the uniform approximations decreases at the highest rate. A consequence of the results obtained is asymptotic estimates of approximations of some specific functions by Fejér sums of polynomial Fourier-Chebyshev series.
Keywords: rational approximations, Fejér integral operator, pointwise and uniform estimates of approximations, modulus of continuity, function with a power-law singularity, asymptotic estimates
Received May 15, 2023
Revised December 18, 2023
Accepted December 25, 2023
Funding Agency: This work was supported by the National Program for Scientific Research of the Republic of Belarus “Convergence 2020” (project no. 20162269).
Pavel G. Potseiko, Ph.D., Faculty of Mathematics and Informatics Yanka Kupala State University of Grodno (Belarus) Ozheshko St., 22, 230023, Grodno, Belarus; e-mail: pahamatby@gmail.com
Yevgeniy A. Rovba, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Faculty of Mathematics and Informatics Yanka Kupala State University of Grodno (Belarus) Ozheshko St., 22, 230023, Grodno, Belarus; e-mail: rovba.ea@gmail.com
Cite this article as: P.G. Potseiko, E.A. Rovba. A Fejér rational integral operator on a closed interval and approximation of functions with a power-law singularity. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 170–189.
[References -> on the "English" button bottom right]
