УДК 517.977
MSC: 91A24, 49N70
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-39-49
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2024-1377.
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S48–S57. (Abstract)
Исследуется задача моделирования решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием при неточно известной правой части, а также неточно известном начальном состоянии. Рассмотрен случай, когда правая часть системы является не гладкой (известно лишь, что она измерима по Лебегу) и неограниченной (принадлежащей пространству функцией суммируемых с квадратом евклидовой нормы) функцией. Указывается устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения рассматриваемой системы. Алгоритм основан на конструкциях теории управления по принципу обратной связи. Установлена оценка скорости сходимости алгоритма. Отмечена возможность применения описанного в работе алгоритма для нахождения приближенного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: система с запаздыванием, приближенное решение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. О динамическом решении операторных уравнений // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, № 3. С. 552–556.
2. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамических системах: сб. статей. Свердловск: Изд-во Урал. науч. центра, 1984. С. 47–68.
3. Кряжимский А.В., Максимов В.И., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамических системах // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47, № 6. С. 883–890.
4. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в классе неупреждающих операторов // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 2. C. 192–199.
5. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения: сб. тр. Новосибирск: Наука, 1985. С. 53–56.
6. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
7. Максимов В.И. Позиционное моделирование управлений и начальных функций для систем Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, №. 4. С. 618–629.
8. Максимов В.И. Численный метод нахождения приближенных решений параболических вариационных неравенств // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 11. С. 1994–2004.
9. Maksimov V. The method of extremal shift in control problems for evolution variational inequalities under uncertainty // Evol. Equ. Control The. 2022. Vol. 11, no. 4. P. 1373–1398. doi: 10.3934/eect.2021048
10. Максимов В.И. О существовании сильных решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №. 3. С. 618–629.
11. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Gordon and Breach, 1995. 625 p. ISBN:2-88124-944-2
12. Banks H.T. Approximation of nonlinear functional–differential systems// J. Optim. Theory Appl. 1979. Vol. 29. P. 383–408. doi: 10.1007/BF00933142
13. Kappel F., Schappaher W. Non-linear functional differential equations and abstract integral equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1979. Vol. 84, no. 1–2. P. 71–91. doi: 10.1017/S0308210500016966
14. Jackiewicz Z. The numerical solutions of Volterra functional differential equations of neutral type // SIAM J. Numer. Analysis. 1981. Vol. 18, no. 4. P. 615–626. doi: 10.1137/0718040
15. Ito K., Kappel F. Approximation of infinite delay and Volterra type equations // Numer. Math. 1989. Vol. 54. P. 405–444. doi: 10.1007/BF01396322
16. Lasiecka I., Manitius A. Differentiability and convergence rates of approximating semigroups for retarded functional differential equations // SIAM J. Numer. Analysis. 1988. Vol. 25, no. 4. P. 883–907. doi: 10.1137/0725050
17. Максимов В.И. Об отслеживании траектории динамической системы // Прикл. математика и механика. 2011. Т. 75, № 6. С. 951–960.
Поступила 20.03.2024
После доработки 11.04.2024
Принята к публикации 15.04.2024
Близорукова Марина Сергеевна
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: msb@imm.uran.ru
Максимов Вячеслав Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: maksimov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: М.С. Близорукова, В.И. Максимов. О моделировании решения систем с постоянным запаздыванием с помощью управляемых моделей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 39-49
English
M.S. Blizorukova, V.I. Maksimov. On modeling a solution of systems with constant delay using controlled models
The problem of modeling a solution is studied for a nonlinear system of differential equations with constant delay, inexactly known right-hand side, and inaccurately given initial state. The case is considered when the right side of the system is a nonsmooth (it is only known that it is Lebesgue measurable) unbounded function (belonging to the space of square integrable functions in the Euclidean norm). An algorithm for solving this system that is stable to information noise and calculation errors is constructed. The algorithm is based on the concepts of feedback control theory. An estimate of the convergence rate of the algorithm is established. The possibility of using the algorithm to find an approximate solution to a system of ordinary differential equations is mentioned.
Keywords: system with delay, approximate solution
Received March 20, 2024
Revised April 11, 2024
Accepted April 15, 2024
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2024-1377).
Marina Sergeevna Blizorukova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: msb@imm.uran.ru
Vyacheslav Ivanovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: maksimov@imm.uran.ru
Cite this article as: M.S. Blizorukova, V.I. Maksimov. On modeling a solution of systems with constant delay using controlled models. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 39–49. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S48–S57.
[References -> on the "English" button bottom right]
