Е.А. Панасенко. Об операторных включениях в пространствах с векторнозначными метриками ... С. 106-127

УДК 517.988.6+515.124.2

MSC: 54E35, 54H25, 34K09

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-3-106-127

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-21-00772, https://rscf.ru/project/22-21-00772/.

В работе изучается включение вида $\widetilde y \in F(x)$ с многозначным отображением, действующим в пространствах с векторнозначными метриками (чьи значения есть элементы конусов в банаховых пространствах), принимающих возможно бесконечные значения. Получено утверждение о существовании решения $x \in X$ и оценке его отклонения (в векторнозначной метрике) от заданного элемента $x_0 \in X.$ Этот результат распространяет известные теоремы об аналогичных операторных уравнениях и включениях в метрических пространствах и в пространствах с $n$-мерной метрикой на более общий случай и применительно к конкретным классам функциональных уравнений и включений позволяет получить менее ограничительные, по сравнению с известными, условия разрешимости и более точные оценки решений.   В работе этот результат применен к интегральному включению
$$
\widetilde{y}(t)\in f\Bigl(t,\int_a^b \varkappa(t,s) x(s)\,ds, x(t) \Bigr),
 \ \ t \in [a,b],
$$
где функция $\widetilde y$ измерима, отображение $f$ удовлетворяет условиям Каратеодори, а от решения  $x$ требуется лишь  измеримость (суммируемость $x$ не предполагается).

Ключевые слова: пространство с векторнозначной метрикой; многозначное отображение; векторная метрическая регулярность; липшицевость с операторным коэффициентом; операторное включение; интегральное включение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. АН. 2007. Т. 416, № 2. С. 151–155.

2.   Arutyunov A., Avakov E., Gel’man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Point Theory Appl. 2009. Vol. 5. P. 105–127. doi: 10.1007/s11784-008-0096-z

3.   Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Точки совпадения и обобщенные точки совпадения двух многозначных отображений // Тр. МИАН. 2020. Т. 308. C. 42–49. doi: 10.4213/tm4075

4.   Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 5. С. 613–634.

5.   Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 11. C. 1523–1537.

6.   Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Изв. вузов. Математика. 2016. № 10. С. 14–28.

7.   Жуковский Е.С. О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств // Мат. заметки. 2016. Т. 100, № 3. С. 344–362. doi: 10.4213/mzm10675

8.   Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 2. C. 297–311. doi: 10.17377/smzh.2016.57.206

9.   Перов А.И. Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М. А. Красносельского // Функц. анализ и его приложения. 2010. Т. 44, № 1. С. 83–87. doi: 10.4213/faa2953

10.   Жуковский Е.С., Панасенко Е.А. О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 1. C. 93–105. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-93-105 

11.   Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E., Zhukovskaya Z.T. Kantorovich’s fixed point theorem and coincidence point theorems for mappings in vector metric spaces // Set-Valued Var. Anal. 2022. Vol. 30. P. 397–423. doi: 10.1007/s11228-021-00588-y

12.   Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

13.   Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, 2004. 512 с.

14.   Иоффе А.Д. Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55, вып. 3 (333). С. 103–162. doi: 10.4213/rm292

15.   Жуковская Т.В., Мерчела В., Шиндяпин А.И. О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2020. Т. 25. Вып. 129. С. 18–24. doi: 10.20310/2686-9667-2020-25-129-18-24

16.   Мерчела В. Включения с отображениями, действующими из метрического пространства в пространство с расстоянием // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2022. Т. 27. Вып. 137. С. 27–36. doi: 10.20310/2686-9667-2022-27-137-27-36

17.   Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

18.   Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: ЛИБРОКОМ, 2011. 224 с.

19.   Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. СПб.: Лань, 1999. 560 c.

20.   Жуковский Е.С., Мерчела В. Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций // Дифференцю уравнения. 2022. Т. 58, № 1. C. 93–104. doi: 10.31857/S0374064122010101

21.   Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 4. С. 439–455.

22.   Arutyunov A., de Oliveira V.A., Pereira F.L., Zhukovskiy E., Zhukovskiy S. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. Vol. 94, no. 1. P. 129–143. doi: 10.1080/00036811.2014.891732

Поступила 14.06.2023

После доработки 18.08.2023

Принята к публикации 21.08.2023

Панасенко Елена Александровна
канд. физ.-мат. наук, доцент
зав. кафедрой функционального анализа
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: panlena_t@mail.ru

Ссылка на статью: Е.А. Панасенко. Об операторных включениях в пространствах с векторнозначными метриками // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 3. С. 106-127

English

E.A. Panasenko. On operator inclusions in spaces with vector-valued metrics

We consider the inclusion $\widetilde y\in F(x)$ with a multivalued mapping acting in spaces with vector-valued metrics whose values are elements of cones in Banach spaces and can be infinite. A statement about the existence of a solution $x \in X$ and an estimate of its deviation from a given element $x_0 \in X$ in a vector-valued metric are obtained. This result extends the known theorems on similar operator equations and inclusions in metric spaces and in spaces with $n$-dimensional metric to a more general case and, applied to particular classes of functional equations and inclusions, allows to get less restrictive, compared to known, solvability conditions as well as more precise estimates of solutions. We apply this result to the integral inclusion
$$
\widetilde{y}(t)\in f\Bigl(t,\int_a^b \varkappa(t,s) x(s)\,ds, x(t) \Bigr), \ \ t \in [a,b],
$$
where the function $\widetilde y$ is measurable, the mapping $f$ satisfies the Carathéodory conditions, and the solution $x$ is required to be only measurable (the integrability of $x$ is not assumed).

Keywords: space with vector-valued metric, multivalued mapping, vector metric regularity, Lipschitz property with operator coefficient, operator inclusion, integral inclusion

Received June 14, 2023

Revised August 18, 2023

Accepted August 21, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22- 21-00772, https://rscf.ru/project/22-21-00772/).

Elena Aleksandrovna Panasenko, Cand. Sci. ( Phys.-Math.), Functional Analysis Department, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: panlena_t@mail.ru

Cite this article as: E.A.Panasenko. On operator inclusions in spaces with vector-valued metrics. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 3, pp. 106–127.

[References -> on the "English" button bottom right]