В.И. Зенков. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных группах с простым цоколем из “Атласа...” ... С. 54-66

УДК 512.542

MSC: 20D06, 20D30, 20E28

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-54-66

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-01-00456, а также проекта повышения конкурентоспособности ведущих университетов России (соглашение 02.А03.210006 от 27.08.2013).

Ранее автором были описаны с точностью до сопряжения все пары $(A,B)$ нильпотентных подгрупп в конечной группе $G$ с цоколем $L_2(q)$, для которых $A\cap B^g\ne 1$ для любого элемента $g$ из $G$.  Аналогичное описание было позднее получено автором для примарных подгрупп $A$ и $B$ в конечной группе $G$ с цоколем $L_n(2^m)$. В данной работе дается описание с точностью до сопряжения всех пар $(A,B)$ нильпотентных подгрупп $A$ и $B$ из конечной группы $G$ с простым цоколем из "Атласа конечных групп", для которых $A\cap B^g\ne 1$ для любого элемента $g$ из $G$. Полученные результаты в рассмотренных случаях подтверждают гипотезу (задача 15.40 из "Коуровской тетради") о том, что в конечной простой неабелевой группе $G$ для любой ее нильпотентной подгруппы $N$ найдется такой элемент $g$, что $N\cap N^g=1$.

Ключевые слова: конечная группа, нильпотентная подгруппа, пересечение подгрупп, подгруппа Фиттинга

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Isaacs I.M. Finite group theory. Providence, RI: AMS, 2008. 350 p.

2.   Brodkey J.S. A note on finite groups with on abelian Sylow groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 14. P. 132–133. doi: 10.1090/S0002-9939-1963-0142631-X

3.   Laffey T.J. Disjoint conjugates of cyclic subgroups of finite groups // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1976-77. Vol. 20. P. 229–232. doi: 10.1017/S0013091500026328

4.   Dempwolff U., Wong S.K. On cyclic subgroups of finite groups // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1982. Vol. 25, no. 1. P. 19–20. doi: 10.1017/S0013091500004065

5.   Burnside W. On groups of order $p^a q^\beta$ // Proc. London Math. Soc. 1904. Vol. 2, no. 1. P. 388–392.

6.   Burnside W. On groups of order $p^a q^\beta$ (Second paper) // Proc. London Math. Soc. 1905. Vol. 2, no. 2. P. 432–437.

7.   Ito N.  Über den kleinsten p-Durchschnitt auflösbarer Gruppen // Arch. Math. 1958. Vol. 9, no. 1-2. P. 27–32.

8.   Мазуров В.Д., Зенков В.И. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, № 4. С. 424–432.

9.   Зенков В.И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фунд. и прикл. математика. 1996. Т. 2, № 1. С. 1–92.

10.   Кабанов В.В., Махнев А.А., Старостин А.И. Конечные группы с нормальными пересечениями силовских 2-подгрупп // Алгебра и логика. 1976. Vol. 15, № 6. P. 655–659.

11.   Herzog M. On 2-Sylow intersections // Isr. J. Math. 1972. Vol. 11, no. 3. P. 325–327.

12.   Bialostocki N. On products of two nilpotent subgroups of a finite groups // Isr. J Math. 1975. Vol. 20, no. 2. P. 178–188.

13.   Коуровская тетрадь. Нерешенные задачи теории групп. Изд. 17-е. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН. 2010. 201 с.

14.   Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985. 352 с.

15.   Курмазов Р.К. О пересечении сопряженных нильпотентных подгрупп в группах подстановок // Сиб. мат. журн. 1913. Т. 54, № 1. С. 98–104.

16.   Зенков В.И. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_3(q)$ или $U_3(q)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 70–78. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-70-78

17.   Зенков В.И. О пересечении абелевой и нильпотентной подгрупп в конечной группе. II // Мат. заметки. 2019. Т. 105, № 3. С. 383–394. doi: 10.4213/mzm11742

18.   Зенков В.И. О пересечениях двух нильпотентных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_2(q)$ // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 6. С. 1280–1290. doi 10.17377/smzh.2016.57.607

19.   Atlas of finite group / Conway J. H. [et. al.] Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

20.   Зенков  В.И. О пересечениях пар примарных подгрупп в конечной группе с цоколем $\Omega^+_{2n}(2^m)$ // Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. С. 728–732. doi: 10.17377/semi.2018.15.058

21.   Зенков В.И. О пересечении двух нильпотентных подгрупп в конечной группе с цоколем $\Omega^+_8(2), E_6(2), E_7(2)$ // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 1424–1433. doi: 10.17377/semi.2017.14.121

22.   Zenkov V.I., Nuzhin Y.N. Intersection of primary subgroups in the group Aut$(F_4(2))$ // J. Sib. Federal Univ. Math. Phys. 2018. Vol. 11, no. 2. P. 605–617. doi: 10.17516/1997-1397-2018-11-2-171-177

23.   Зенков В.И. О пересечениях примарных подгрупп в неразрешимых конечных группах с цоколем, изоморфным $L_n(2^m)$ // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 2. С. 337–344. doi: 10.17377/smzh.2018.59.208

24.   Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups, Number 3. Providence, RI: AMS, 1998. 420 p.

25.   Зенков В.И. О пересечении двух нильпотентных подгрупп в небольших конечных группах // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 1099–1115. doi: 10.17377/semi.2016.13.087

26.   Aschbacher M., Seitz G. Involutions in Chevalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. 1976. Vol. 63. P. 1–91. doi: 10.1017/S0027763000017438

27.   Yong Yang. Regular orbits of nilpotent subgroups of solvable linear groups // J. Algebra. 2011. Vol. 325, no. 1. P. 56–69. doi: 10.1016/j.jalgebra.2010.09.024

28.   Baer R. Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen // Math. Ann. 1957. Vol. 133. P. 256–270.

29.   Suzuki M. Finite groups in which the centralizer of any element of order 2 is 2-closed // Ann. Math. 1968. Vol. 82, no. 2. P. 191–212.

30.   Alperin J., Lyons R. On conjugacy classes of p-elements // J. Algebra. 1971. Vol. 19, no. 2. P. 536–537.

31.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 438 p. doi: 10.1017/CBO9781139192576

32.   Кондратьев А.С. Неприводимые подгруппы группы $GL(7,2)$ // Мат. заметки. 1985. Т. 3, № 3. С. 317–321.

33.   Harada K., Yamaki H. The irreducible subgroups of $GL(n,2)$ with $n\leq 6$ // Roy. Soc. Can. Math. Repts, 1979. Vol. 1, no. 2. P. 75–78.

Поступила 22.04.2022

После доработки 21.04.2023

Принята к публикации 15.05.2023

Зенков Виктор Иванович
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Ин-т математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: v1i9z52@mail.ru

Ссылка на статью: В.И. Зенков. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных группах с простым цоколем из “Атласа...” // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 54-66

English

V.I. Zenkov. On intersections of nilpotent subgroups in finite groups with simple socle from the Atlas

Earlier, the author described up to conjugation all pairs $(A,B)$ of nilpotent subgroups of a finite group $G$ with socle $L_2(q)$ for which $A\cap B^g\ne 1$ for any element of $G$. A similar description was obtained by the author later for primary subgroups $A$ and $B$ of a finite group $G$ with socle $L_n(2^m)$. In this paper, we describe up to conjugation all pairs $(A,B)$ of nilpotent subgroups of a finite group $G$ with simple socle from the "Atlas of Finite Groups" for which $A\cap B^g\ne 1$ for any element $g$ of $G$. The results obtained in the considered cases confirm the hypothesis (Problem 15.40 from the "Kourovka Notebook") that a finite simple non-Abelian group $G$ for any nilpotent subgroups $N$ contains an element $g$ such that $N\cap N^g=1$.

Keywords: finite group, nilpotent subgroup, intersection of subgroups, Fitting subgroup

Received April 22, 2022

Revised April 21, 2023

Accepted May 15, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00456) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013,  between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Victor Ivanovich Zenkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, 620000 Russia, e-mail: v1i9z52@mail.ru

Cite this article as: V.I. Zenkov. On intersections of nilpotent subgroups in finite groups with the simple socle from Atlas. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 54–66.

[References -> on the "English" button bottom right]