А.Л. Казаков, П.А. Кузнецов, Л.Ф. Спевак. Задача об инициировании диффузионной волны для нелинейной параболической системы второго порядка ... С. 67-86

УДК 517.95

MSC: 35K40, 35K51, 35K65

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-67-86

Исследования А. Л. Казакова и П. А. Кузнецова выполнены в рамках госзадания Минобрнауки России по проекту “Аналитические и численные методы математической физики в задачах томографии, квантовой теории поля и механике жидкости и газа”, № гос. регистрации 121041300058-1.

В научной школе А. Ф. Сидорова важное место занимают исследования нелинейных вырождающихся параболических уравнений. В частности, с 80-х годов прошлого века изучается задача об инициировании тепловой волны. Целью настоящего исследования является распространение результатов по данной тематике А. Ф. Сидорова и его учеников, включая авторов статьи, на случай систем соответствующего вида. Показано, что тепловая (диффузионная) волна для системы имеет более сложную (трехчастную) структуру, являющуюся следствием того, что нулевые фронты для искомых функций различны. Доказана теорема существования и единственности кусочно-аналитического решения рассмотренной задачи, которое представлено в виде специальных рядов. Найдено точное решение искомого вида, построение которого сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Последние удалось проинтегрировать в квадратурах. Предложен алгоритм на основе метода коллокаций, позволяющий эффективно строить приближенное решение рассмотренной задачи на заданном временном промежутке. Выполнены иллюстрирующие численные расчеты. Поскольку доказать утверждение о сходимости метода в данном случае не удалось (подобное для нелинейных вырождающихся уравнений и систем вообще возможно далеко не всегда), для верификации результатов расчетов использованы точные решения — как полученные в данной работе, так и ранее известные.

Ключевые слова: нелинейная параболическая система, вырождение, теорема существования, специальный ряд, точное решение, метод коллокаций, вычислительный эксперимент

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

2.   Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1983. № 7. C. 13–27.

3.   Сидоров А.Ф. О некоторых классах решений уравнения нестационарной фильтрации // Численные методы механики сплошной среды: cб. науч. тр. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1984. Т. 15, № 2. С. 121–133.

4.   Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280, № 1. С. 47–51.

5.   Осипов Ю.С., Бердышев В.И., Ильин А.М., Короткий А.И., Самофалов В.В., Титов С.С., Ульянов О.Н., Хайруллина О.Б. Анатолий Фёдорович Сидоров (1933–1999) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2003. Т. 9, № 2. С. 3–9.

6.   Сидоров А.Ф. О некоторых аналитических представлениях решений нелинейного уравнения нестационарной фильтрации // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: cб. науч. тр. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1987. С. 247–257.

7.   Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит, 2003. 88 с.

8.   Коврижных О.О. О построении асимптотического решения нелинейного вырождающегося параболического уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 10. С. 1487–1493.

9.   Ваганова Н.А. Построение новых классов решений нелинейного уравнения фильтрации с помощью специальных согласованных рядов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2003. Т. 9, № 2. C. 10–20.

10.   Filimonov M.Yu. Representation of solutions of boundary value problems for nonlinear evolution equations by special series with recurrently calculated coefficients // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1268, article no. 012071. doi: 10.1088/1742-6596/1268/1/012071

11.   Казаков А.Л., Лемперт А.А. О существовании и единственности решения краевой задачи для параболического уравнения нестационарной фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54, № 2. С. 97–105.

12.   Казаков А.Л., Кузнецов П.А. Об аналитических решениях одной специальной краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в полярных координатах // Сиб. журн. индустр. математики. 2018. Т. 21, № 2. C. 56–65. doi: 10.17377/SIBJIM.2018.21.205

13.   Казаков А.Л., Нефедова О.А., Спевак Л.Ф. Решение задач об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности методом граничных элементов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 6. С. 1047–1062. doi: 10.1134/S0044466919060085

14.   Казаков А.Л. Применение характеристических рядов для построения решений нелинейных параболических уравнений и систем с вырождением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. C. 114–122.

15.   Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Lempert A.A. Analytical solutions to the singular problem for a system of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type // Symmetry. 2020. Vol. 12, № 6. P. 999. doi: 10.3390/SYM12060921

16.   Казаков А.Л., Спевак Л.Ф. Точные и приближенные решения вырождающейся системы реакция-диффузия // Прикладная механика и техническая физика. 2021. Т. 62, № 4. С. 169–180. doi: 10.15372/PMTF20210417

17.   Казаков А.Л., Кузнецов П.А., Спевак Л.Ф. Построение решений краевой задачи с вырождением для нелинейной параболической системы // Сиб. журн. индустр. математики. 2021. Т. 24, № 4. С. 64–78. doi: 10.33048/SIBJIM.2021.24.405

18.   Казаков А.Л., Спевак Л.Ф. Решения нелинейной вырождающейся системы реакция-диффузия типа диффузионных волн с двумя фронтами // Прикладная механика и техническая физика. 2022. Т. 63, № 6(376). С. 104–115. doi: 10.15372/PMTF20220612

19.   Kosov A.A., Semenov E.I. Distributed model of space exploration by two types of interacting robots and its exact solutions // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1847, article no. 012007. doi: 10.1088/1742-6596/1847/1/012007

20.   Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 738 с.

21.   Grindrod P. Patterns and waves: theory and applications of reaction-diffusion equations. NY: Clarendon Press, 1991. 256 p.

22.   Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с.

23.   Vazquez J. The porous medium equation: mathematical theory. Oxford: Clarendon Press, 2007. 624 p. doi: 10.1093/acprof:oso/9780198569039.001.0001

24.   Bekezhanova V.B., Stepanova I.V. Evaporation convection in two-layers binary mixtures: equations, structure of solution, study of gravity and thermal diffusion effects on the motion // Appl. Math. Comput. 2022. Vol. 414, article no. 126424. doi: 10.1016/j.amc.2021.126424

25.   Cantrell R.S., Cosner C. Spatial ecology via reaction-diffusion equations. Chichester: Wiley, 2003. 432 p.

26.   DiBenedetto E. Degenerate parabolic equations. NY: Springer-Verlag, 1993. 388 p. doi: 10.1007/978-1-4612-0895-2

27.   Олейник О.А., Калашников А.С., Чжоу Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22, вып. 5. С. 667–704.

28.   Степанова Е.В., Шишков А.Е. Начальная эволюция носителей решений квазилинейных параболических уравнений с вырождающимся абсорбционным потенциалом // Мат. сборник. 2013. Т. 204, № 3. С. 79–106.

29.   Antontsev S.N., Shmarev S.I. Evolution PDEs with nonstandard growth conditions: Existence, uniqueness, localization, blow-up. Paris: Atlantis Press, 2015. 409 p. doi: 10.2991/978-94-6239-112-3

30.   Баутин С.П., Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения. Новосибирск: Наука, 2006. 399 с.

31.   Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. 440 с.

32.   Рубина Л.И. О характеристиках и решениях одномерного нестационарного уравнения фильтрации // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69, № 5. С. 829–836.

33.   Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Об одном методе решения уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 5. С. 1091–1101.

34.   Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 c.

35.   Сидоров А.Ф. Некоторые новые аналитические методы исследования нелинейных волновых процессов в газовой динамике // Фундамент. исследования надежности и качества машин. 1990. С. 48–37.

36.   Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C. Boundary element techniques. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 464 p.

37.   Banerjee P.K., Butterfield R. Boundary element methods in engineering science. London: McGraw-Hill Book Company, 1981. 452 p.

38.   Nardini N., Brebbia C.A. A new approach to free vibration analysis using boundary elements // Appl. Math. Modelling. 1983. Vol. 7. P. 157–162.

39.   Wrobel L.C., Brebbia C.A., Nardini D. The dual reciprocity boundary element formulation for transient heat conduction // Finite elements in water resources VI. Berlin: Springer-Verlag, 1986. P. 801–811.

40.   Chen C.S., Chen W., Fu Z.J. Recent advances in radial basis function collocation methods. Berlin; Heidelberg: Springer, 2013. 165 p. doi: 10.1007/978-3-642-39572-7

41.   Buhmann M.D. Radial basis functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 259 p. doi: 10.1017/CBO9780511543241

42.   Fornberg B., Flyer N. Solving PDEs with radial basis functions // Acta Numerica. 2015. Vol. 24. P. 215–258. doi: 10.1017/S0962492914000130

43.   Golberg M.A., Chen C.S., Bowman H. Some recent results and proposals for the use of radial basis functions in the BEM // Engineering Analysis with Boundary Elements. 1999. Vol. 23. P. 285–296. doi: 10.1016/S0955-7997(98)00087-3

Поступила 15.02.2023

После доработки 16.03.2023

Принята к публикации 20.03.2023

Казаков Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук
гл. науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: kazakov@icc.ru

Кузнецов Павел Александрович
канд. физ.-мат. наук
науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: kuznetsov@icc.ru

Спевак Лев Фридрихович
канд. техн. наук
зав. Лабораторией прикладной механики
Институт машиноведения имени Э.С. Горкунова УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: lfs@imach.uran.ru

Ссылка на статью: А.Л. Казаков, П.А. Кузнецов, Л.Ф. Спевак. Задача об инициировании диффузионной волны для нелинейной параболической системы второго порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 67-86

English

A.L. Kazakov, P.A. Kuznetsov, L.F. Spevak. The problem of diffusion wave initiation for a nonlinear second-order parabolic system

The study of nonlinear singular parabolic equations occupies a key place in the scientific school of A. F. Sidorov. In particular, the problem on initiating a heat wave has been studied since the 1980s. The present study aims to extend the results of Sidorov and his followers, including the authors, to the case of systems of the corresponding type. We find that the heat (diffusion) wave for the system considered has a more complex (three-part) structure, which follows from the fact that the zero fronts are different for the unknown functions. A theorem on the existence and uniqueness of a piecewise analytical solution, which has the form of special series, is proved. We find an exact solution of the desired type, the construction of which is reduced to the integration of ordinary differential equations (ODEs). We managed to integrate the ODEs by quadratures. In addition, we propose an algorithm based on the collocation method, which allows us to effectively construct an approximate solution on a given time interval. Illustrative numerical calculations are performed. Since we have not managed to prove the convergence in this case (this is far from always possible for nonlinear singular equations and systems), exact solutions, both obtained in this paper and previously known, have been used to verify the calculation results.

Keywords: nonlinear parabolic system, singularity, existence theorem, special series, exact solution, collocation method, computational experiment

Received February 15, 2023

Revised March 16, 2023

Accepted March 20, 2023

Funding Agency: The research by A.L. Kazakov and P.A. Kuznetsov was funded by Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the framework of the project “Analytical and numerical methods of mathematical physics in problems of tomography, quantum field theory, and fluid mechanics” (No. of state registration: 121041300058-1).

Alexandr Leonidovich Kazakov, Dr. Phys.-Math. Sci., Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: kazakov@icc.ru

Pavel Alexandrovich Kuznetsov, Cand. Sci. (Phys. Math.), Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: kuznetsov@icc.ru

Lev Fridrikhovich Spevak, Cand. Sci. (Engineering Sciences), Institute of Engineering Science of UB RAS, Yekaterinburg, 620049 Russia, e-mail: lfs@imach.uran.ru

Cite this article as: A.L. Kazakov, P.A. Kuznetsov, L.F. Spevak, The problem of diffusion wave initiation for a nonlinear second-order parabolic system. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 67–86.

[References -> on the "English" button bottom right]