А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения задачи оптимального управления с терминальным выпуклым критерием качества и возмущением начальных данных ... С. 41-53

УДК 517.977

MSC: 49N05, 93C70

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-41-53

Рассматривается задача оптимального управления на фиксированном промежутке времени линейной системой с постоянными коэффициентами с малым параметром в начальных условиях и терминальным критерием качества в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями. Обоснованы предельные соотношения для оптимального значения функционала качества и вектора, определяющего оптимальное управление, при стремлении малого параметра к нулю. Показано, что асимптотика решения может иметь сложный характер. В частности, может не раскладываться в асимптотический ряд в смысле Пуанкаре ни по какой асимптотической последовательности рациональных функций от малого параметра и логарифмов от него.

Ключевые слова: оптимальное управление, терминальный выпуклый критерий качества, асимптотическое разложение, малый параметр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Физматгиз, 1961. 391 c.

2.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 c.

3.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

4.   Данилин А.Р., Ильин А.М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундамент. и прикл. математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 905–926.

5.   Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. №. 1. С. 3–51.

6.   Курина Г.А., Калашникова М.А. Сингулярно возмущенные задачи с разнотемповыми быстрыми переменными // Автоматика и телемеханика. 2022. Т. 11. С. 3–61. doi:10.31857/S0005231022110010

7.   Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во Москов. ун-та, 1989. 204 с.

8.   Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в регулярном случае // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 11. С. 1473–1480.

9.   Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 12. С. 2166–2177.

10.   Парышева Ю.В. Асимптотика решения линейной задачи оптимального управления в сингулярном случае // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 266–270.

11.   Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и гладкими геометрическими ограничениями на управление // Изв. ИМИ УдГУ. 2017. Т. 50. С. 110–120. doi: 10.20537/2226-3594-2017-50-09

12.   Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2019. Т. 24, № 125. С. 119–136. doi: 10.20310/1810-0198-2019-24-125-119-136

13.   Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., Zou Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 // Int. J. of Information and Systems Sciences. 2014. Vol. 9, no. 1. P. 1–36.

14.   Hoai N.T. Asymptotic solution of a singularly perturbed linear–quadratic problem in critical case with cheap control // J. Optim Theory Appl. 2017. Vol. 175, no. 2. P. 324–340. doi: 10.1007/s10957-017-1156-6

15.   Nguyen T.H. Asymptotic solution of a singularly perturbed optimal problem with integral constraint // J. Optim. Theory Appl. 2021. No. 190. P. 931–950. doi: 10.1007/s10957-021-01916-w

16.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи быстродействия с двумя малыми параметрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т 25, № 2. C. 88–101. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-88-101

Поступила 9.03.2023

После доработки 13.04.2023

Принята к публикации 17.04.2023

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

Коврижных Ольга Олеговна
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: koo@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения задачи оптимального управления с терминальным выпуклым критерием качества и возмущением начальных данных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 41-53

English

A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of a solution to an optimal control problem with a terminal convex performance index and a perturbation of the initial data

In this paper, we investigate a problem of optimal control over a finite time interval for a linear system with constant coefficients and a small parameter in the initial data in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints. We consider a terminal convex performance index. We substantiate the limit relations as the small parameter tends to zero for the optimal value of the performance index and for the vector determining the optimal control in the problem. We show that the asymptotics of the solution can be of complicated nature. In particular, it may have no expansion in the Poincare sense in any asymptotic sequence of rational functions of the small parameter or its logarithms.

Keywords: optimal control, terminal convex performance index, asymptotic expansion, small parameter

Received March 9, 2023

Revised April 13, 2023

Accepted April 17, 2023

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru

Ol’ga Olegovna Kovrizhnykh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: koo@imm.uran.ru

Cite this article as: A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of a solution to an optimal control problem with a terminal convex performance index and a perturbation of the initial data. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 41–53.

[References -> on the "English" button bottom right]