А.Х. Сташ. О существенных значениях показателей колеблемости решений линейной однородной двумерной дифференциальной системы ... С. 157-171

УДК 517.926

MSC: 34A30, 34C10, 34D05

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-157-171

В настоящей работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости решений линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными ограниченными коэффициентами. Подсчет показателей колеблемости происходит путем усреднения числа нулей (или знаков, или корней, или гиперкорней) проекции решения $x$ дифференциальной системы на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получаются слабые показатели колеблемости, а если после, то сильные показатели колеблемости. При вычислении показателей колеблемости решения $y$ линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка осуществляется переход к вектор-функции $x=(y, \dot y,\dots, y^{(n-1)})$. В первой части работы для любого наперед заданного натурального числа $N$ конструктивно построена двумерная периодическая линейная дифференциальная система, обладающая тем свойством, что ее спектры всех верхних и нижних сильных и слабых показателей колеблемости строгих и нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней содержат один и тот же набор, состоящий из $N$ различных существенных значений, причем как метрически, так и топологически. Более того, все эти значения реализованы на одном и том же наборе решений построенной системы, т. е.  для каждого решения из этого набора все перечисленные выше показатели колеблемости совпадают между собой. Во второй части работы доказана аналогичная теорема о существовании двумерной дифференциальной системы со счетным множеством существенных (и метрически, и топологически) значений показателей колеблемости. При построении указанных систем и доказательстве требуемых результатов использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы теории возмущений решений линейных дифференциальных систем, в частности, авторская методика управления фундаментальной матрицей решений таких систем в одном частном случае.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейная система, колеблемость, число нулей, показатели колеблемости, частота Сергеева

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249–294.

2.   Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 1. C. 149–172. doi: 10.4213/im5035

3.   Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. сб. 2013. Т. 204. № 1. C. 119–138. doi: 10.4213/sm7928

4.   Сергеев И.Н. Полный набор соотношений между показателями колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2015. Вып. 2 (46). С. 171–183.

5.   Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Труды семинара им. И. Г.  Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177–219.

6.   Сергеев И.Н. Показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. заметки. 2016. Т. 99. № 5. С. 732–751. doi: 10.4213/mzm10555

7.   Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. I //Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 10. С. 1302–1320. doi: 10.1134/S0374064116100034

8.   Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 12. С. 1595–1609. doi: 10.1134/S0374064116120013

9.   Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 4. С. 419–425. doi: 10.1134/S0374064116040026

10.   Барабанов Е.А., Войделевич А.С. Cпектры верхних частот Сергеева нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений // Докл. НАН Беларуси. 2016. Т. 60. № 1. С. 24–31.

11.   Войделевич А.С. О спектрах верхних частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2019. № 1. С. 28–32. doi: 10.33581/2520-6508-2019-1-28-32

12.   Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем  // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1661–1662.

13.   Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 11. С. 1567–1568.

14.   Сташ А.Х. Об отсутствии свойства остаточности у сильных показателей колеблемости линейных систем // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31, вып. 1. С. 59–69. doi: 10.35634/vm210105 .

15.   Сташ А.Х. Существование двумерной линейной системы с континуальными спектрами полных и векторных частот // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 1. С. 143–144. doi: 10.1134/S0374064115010161

16.   Бурлаков Д.С., Цой С.В. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2014. Вып. 30. С. 75–93.

17.   Сташ А.Х. Свойства показателей колеблемости решений линейных автономных дифференциальных систем // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29, вып. 4. С. 558–568. doi: 10.20537/vm190407

18.   Сташ А.Х. О конечных спектрах полной и векторной частот линейной двумерной дифференциальной периодической системы // Вестн. Адыгейс. гос. ун-та. Сер. 4. 2014. Вып. 1 (133). С. 30–36.

19.   Сташ А.Х. О счетных спектрах полной и векторной частот линейной двумерной дифференциальной системы // Вестн. Адыгейс. гос. ун-та. Сер. 4. 2014. Вып. 2 (137). С. 23–32.

20.   Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.

21.   Шишлянников Е.М. Двумерные дифференциальные системы с произвольными конечными спектрами показателя блуждаемости// Вестн. Моск. ун-та Сер. 1. Математика Механика. 2017. № 5. С. 14–21.

Поступила 27.02.2023

После доработки 17.04.2023

Принята к публикации 24.04.2023

Сташ Айдамир Хазретович
канд. физ.-мат. наук, доцент
декан фак. математики и компьютерных наук
Адыгейский государственный университет
г. Майкоп
e-mail: aidamir.stash@gmail.com

Ссылка на статью: А.Х. Сташ. О существенных значениях показателей колеблемости решений линейной однородной двумерной дифференциальной системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 157-171

English

A.Kh. Stash. On essential values of exponents of oscillation for solutions of a linear homogeneous two-dimensional differential system

In this paper, we study various types of exponents of oscillations for solutions of linear homogeneous differential systems with continuous bounded coefficients. The calculation of the exponents of oscillation is carried out by averaging the number of zeros (or signs, or roots, or hyper roots) of the projection of a solution~$x$ of a differential system onto any straight line, and this line is chosen so that the resulting average value is minimal: if the minimization is performed before (after) the averaging, then weak (strong, respectively) exponents of oscillation are obtained. In the calculation of the exponents of oscillation for a solution $y$ of a linear homogeneous $n$-th order differential equation, a transition to the vector function $x=(y, \dot y,\dots, y^{(n-1)})$ is carried out. In the first part of the paper, for any preassigned natural number $N$, a two-dimensional periodic linear differential system is constructed, which has the property that its spectra of all upper and lower strong and weak exponents of oscillation of strict and nonstrict signs, zeros, roots, and hyper roots contain the same set, consisting of $N$ different essential values, both metrically and topologically. Moreover, all these values are implemented on the same set of solutions of the constructed system, that is, for each solution from this set, all the exponents of oscillations coincide with each other. In the second part of the paper, a similar theorem on the existence of a two-dimensional differential system with a countable set of essential (both metrically and topologically) values of exponents of oscillation is proved. In constructing the mentioned systems and proving the required results, we use analytical methods of the qualitative theory of differential equations and methods of the theory of perturbations of solutions of linear differential systems, in particular, the author's technique for controlling the fundamental matrix of solutions of such systems in one special case.

Keywords: differential equation, linear system, oscillation, number of zeros, exponents of oscillation, Sergeev's frequency

Received February 2, 2023

Revised April 17, 2023

Accepted April 24, 2023

Aydamir Khazretovich Stash, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Dean of the Faculty of Mathematics and Computer Science, Adyghe state University, Maykop, 385000 Russia, e-mail: aidamir.stash@gmail.com

Cite this article as: A.Kh. Stash. On essential values of exponents of oscillation for solutions of a linear homogeneous two-dimensional differential system. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 157–171.

[References -> on the "English" button bottom right]