П.Г. Сурков. Адаптивный алгоритм устойчивой онлайн идентификации помехи в системе дробного порядка на бесконечном временном горизонте ... С. 172-188

УДК 517.977+517.23

MSC: 26A33, 49N45, 93C40

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-172-188

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-71-10070, https://rscf.ru/project/21-71-10070/.

Рассматривается задача онлайн идентификации неконтролируемого внешнего возмущения (помехи) в системе дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто на бесконечном временном горизонте. Информация о позиции системы доступна для измерений только во время ее функционирования, и только часть координат фазового вектора может быть измерена. Случай измерения всех координат также рассмотрен. Измерения проводятся в дискретные, достаточно частые моменты времени с некоторой погрешностью. Поэтому задача нахождения неизвестного возмущения является некорректной. Для ее решения строится адаптивный алгоритм онлайн идентификации с использованием подхода динамического обращения. Этот подход основан на сочетании методов регуляризации и конструкций из теории позиционного управления. В частности мы используем метод регуляризации Тихонова со сглаживающим функционалом специального вида и метод экстремального прицеливания Красовского. В основе алгоритма лежит выбор подходящей вспомогательной управляемой системы и закон управления в ней по принципу обратной связи. Предложенный алгоритм дает аппроксимацию внешнего возмущения и устойчив к информационным помехам и погрешности вычислений. Рассмотрен модельный пример, демонстрирующий применение разработанной методики.

Ключевые слова: онлайн идентификация, внешнее возмущение, дробная производная Капуто, бесконечный временной промежуток

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Bar-Shalom Y., Li X.R., Kirubarajan T. Estimation with applications to tracking and navigation: Theory algorithms and software. NY: John Wiley & Sons, 2004. 592 p.

2.   Keesman K.J. System identification. An introduction. London: Springer-Verlag, 2011. 323 p.

3.   Norton J.P. An Introduction to identification. NY: Dover Publ. Inc., 2009. 310 p.

4.   Pandolfi L. Systems with persistent memory: Controllability, stability, identification. Cham: Springer, 2021. 356 p.

5.   Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 285 с.

6.   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: УРСС, 2022. 288 с.

7.   Butera S., Di Paola M. A physically based connection between fractional calculus and fractal geometry // Annals. of Physics. 2014. Vol. 350. P. 146–158. doi: 10.1016/j.aop.2014.07.008

8.   Podlubny I. Geometrical and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002. Vol. 5, no. 4. P. 367–386.

9.   Станиславский А.А. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // Теорет. и мат. физика. 2004. Т. 138, № 3. C. 491–507. doi: 10.4213/tmf34

10.   Tarasov V.E. Geometric interpretation of fractional-order derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2016. Vol. 19, no. 5. P. 1200–1221. doi: 10.1515/fca-2016-0062

11.   Gomoyunov M.I. Differential games for fractional-order systems: Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs equation and optimal feedback strategies // Mathematics. 2021. Vol. 9, no. 14, article no. 1667. doi: 10.3390/math9141667

12.   Matychyn I., Onyshchenko V. Time-optimal control of linear fractional systems with variable coefficients // Internat. J. Appl. Math. & Comp. Sci. 2021. Vol. 31, no. 3. P. 375–386. doi: 10.34768/amcs-2021-0025

13.   Boumenir A., Kim Tuan V., Al-Khulaifi W. Reconstructing a fractional integro-differential equation // Math. Methods Appl. Sci. 2021. Vol. 44, no. 4. P. 3159–3166. doi: 10.1002/mma.6648

14.   Самко С.Г. Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

15.   Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo  J.J. Theory and applications of fractional differential equations. NY: Elsevier Science, 2006. 540 p.

16.   Васин В.В. Основы теории некорректных задач. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2020. 313 c.

17.   Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-posed problems: Theory and application. Berlin: De Gruyter, 2012. 459 p.

18.   Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 51–60.

19.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

20.   Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем. Екатеринбург: Изд-во ИММ УрО РАН, 2011. 292 c.

21.   Максимов В.И., Осипов Ю.С. О граничном управлении распределенной системой на бесконечном промежутке времени // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, № 1. C. 16–28.

22.   Близорукова М.С., Максимов В.И. О реконструкции входного воздействия параболического уравнения на бесконечном промежутке времени // Изв. вузов. Математика. 2014. № 8. С. 30–41.

23.   Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамического восстановления входного воздействия // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 1. С. 88–100. doi: 10.1134/S0374064113010093

24.   Розенберг В.Л. Динамическая реконструкция возмущений в квазилинейном стохастическом дифференциальном уравнении // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2018. Т. 58, № 7. С. 1121–1131. doi: 10.31857/S004446690001461-8

25.   Максимов В.И. О реконструкции управлений в экспоненциально устойчивых линейных системах, подверженных малым возмущениям // Прикл. математика и механика. 2007. Т. 71, № 6. С. 945–955.

26.   Maksimov V.I. The methods of dynamical reconstruction of an input in a system of ordinary differential equations // J. Inverse and Ill-posed Problems. 2021. Vol. 29, no. 1. P. 125–156. doi: 10.1515/jiip-2020-0040

27.   Сурков П.Г. Задача динамического восстановления правой части системы дифференциальных уравнений нецелого порядка // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 6. С. 865–874. doi: 10.1134/S0374064119060128

28.   Surkov P.G. Real-time reconstruction of external impact on fractional order system under measuring a part of coordinates // J. Comp. Appl. Math. 2021. Vol. 381, no. 3, article no. 113039. doi: 10.1016/j.cam.2020.113039

29.   Surkov P.G. Approximate calculation of the Caputo-type fractional derivative from inaccurate data. Dynamical approach // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2021. Vol. 24, no. 3. P. 895–922. doi: 10.1515/fca-2021-0038

30.   Fagnani F., Maksimov V., Pandolfi L. A recursive deconvolution approach to disturbance reduction // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. Vol. 49, no. 6. P. 907–921. doi: 10.1109/TAC.2004.829596

31.   Субботина Н.Н., Крупенников Е.А. Слабое со звездой решение задачи динамической реконструкции // Тр. МИАН. 2021. Т. 315. С. 247–260. doi: 10.4213/tm4220

32.   Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: УРСС, 2022. 230 c.

33.   Matignon D. Stability results for fractional differential equations with applications to control processing // Computational engineering in systems applications. 1996. Vol. 2, no. 1. P. 963–968.

34.   Gomoyunov M.I. Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2018. Vol. 21, no. 5. P. 1238–1261. doi: 10.1515/fca-2018-0066 

Поступила 12.03.2023

После доработки 10.05.2023

Принята к публикации 15.05.2023

Сурков Платон Геннадьевич
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
доцент
кафедра прикладной математики и механики
Институт естественных наук и математики
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: spg@imm.uran.ru

Ссылка на статью: П.Г. Сурков. Адаптивный алгоритм устойчивой онлайн идентификации помехи в системе дробного порядка на бесконечном временном горизонте // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 172-188

English

P.G. Surkov. An adaptive algorithm for a stable online identification of a disturbance in a fractional-order system on an infinite time horizon

The problem of online identification of an uncontrolled external disturbance (noise) in a system of differential equations with a fractional Caputo derivative is considered on an infinite time horizon. Information on the position of the system is available for observations only during its functioning, and only a part of the coordinates of the system’s phase vector can be measured. The case of measuring all phase coordinates is also considered. The measurements are carried out at discrete, sufficiently frequent times with a certain error. Therefore, the problem of finding the unknown disturbance is ill-posed. To solve it, an adaptive online identification algorithm is constructed using the dynamic inversion approach, which is based on a combination of regularization methods and constructions of positional control theory. In particular, we use the Tikhonov regularization method with a smoothing functional of special form and the Krasovskii extremal aiming method. The algorithm is based on the choice of an appropriate auxiliary control system and a feedback control law in this system. The proposed algorithm approximates the external disturbance and is stable under information noises and computational errors. A model example demonstrating the application of the developed technique is considered.

Keywords: online identification, external disturbance, Caputo fractional derivative, infinite time interval

Received March 12, 2023

Revised May 10, 2023

Accepted May 15, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 21-71-10070, https://rscf.ru/project/21-71-10070/)

Platon Gennad’evich Surkov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, 620000 Russia, e-mail: spg@imm.uran.ru

Cite this article as: P.G. Surkov. An adaptive algorithm for a stable online identification of a disturbance in a fractional-order system on an infinite time horizon. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 172–188.

[References -> on the "English" button bottom right]