Л.И. Рубина. Об одном подходе к решению волнового уравнения для диэлектрических немагнитных сред ... С. 145-156

УДК 517.977

MSC: 35Cxx

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-145-156

Рассматривается волновое уравнение для диэлектрических немагнитных сред, полученное из системы уравнений Максвелла в рамках нелинейной оптики при классическом подходе. Уравнение описывает динамику поля излучения в стеклах, жидкостях, газах, многих кристаллах. Анализ динамики электрического поля излучения можно провести, только зная вид поляризационного отклика среды на силовое воздействие этого поля. Поэтому волновое уравнение можно считать недоопределенным. Оно содержит члены, зависящие от $E=E(x,y,z,t)$ — напряженности электрического поля излучения, и член, зависящий от поляризационного отклика среды $P=P(x,y,z,t)$. В работе предлагается метод решения такого недоопределенного уравнения. Поскольку поляризационный отклик среды происходит на силовое воздействие электрического поля излучения, в работе предполагается, что $P=P(E)$, $E(x,y,z,t)=\rm{const}$  задает поверхность уровня функции $P$. При таком предположении волновое уравнение сводится к ОДУ. Независимой переменной в ОДУ является функция $E$. Функция $E=E(x,y,z,t)$ определяется после решения уравнения в частных производных первого порядка (базового уравнения) $E_{t}=f_{0}(E)$. Решение ОДУ и вид $E=E(x,y,z,t)$ (следовательно, динамика поля излучения) зависят от выбора произвольной функции $f_{0}(E)$. В работе выписан вид $E=E(x,y,z,t)$ и $P=P(E)$ для четырех функций $f_{0}(E)$. Эти решения имеют константный произвол.

Ключевые слова: волновое уравнение, поляризация, система ОДУ, функциональный произвол

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics: 1st ed., Wiley, 1991, 992 p. ISBN: 9780471839651; 2nd ed. Wiley, 2007, 1200 p. ISBN: 0471358320; 3 rd. ed., Wiley, 2019, 1359 p. ISBN: 9781119506874.

2.   Сазонов С.В. Об оптических солитонах различных длительностей // Ученые записки Казан. гос. ун-та. Физ.-мат. науки. 2008. Т. 150, кн. 2. С.  29–37.

3.   Сазонов С.В. К нелинейной оптике предельно коротких импульсов // Оптика и спектроскопия. 2022. Т. 130, вып. 12. С. 1846–1855.

4.   Агранат М.Б., Анисимов С.И. , Макшанцев Б.И. Аномальное тепловое излучение металлов, создаваемое ультракороткими лазерными импульсами // Прикл. физика, фотофизика и лазерная химия. 1988. Т. 47, вып. 3. С. 209–221. doi: 10.1007/BF00697339

5.   Ахманов С.А., Воронцов М.A., Иванов В. Ю. Крупномасштабные поперечные нелинейные взаимодействия в лазерных пучках, новые типы нелинейных волн, возникновение оптической турбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 47, вып. 12. С. 611–614.

6.   Акаев A.A., Майоров С.А. Оптические методы обработки информации. М.: Высш. шк., 1988. 238 с.

7.   Акимова И.Г., Разгулин A.B. Ротационные волны в оптической системе с дифракцией и поворотом пространственных аргументов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15: Вычисл. математика и кибернетика. 1999. № 2. С. 20–25.

8.   Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. Сер. Современная теория колебаний и волн. М.: Наука. Физматлит, 2000. 272 с.

9.   Ovsiannikov L.V. Group analysis of differential equations. NY: Acad. Press, 1982. 416 p.

10.   Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. Vol. 2: Partial differential equations. NY: Interscience, 1962. 830 p.

11.   Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // J. Math. Phys. 1989. Vol. 30, no. 10. P. 2201–2213. doi: 10.1063/1.528613

12.   Сидоров А.Ф., Гаврилушкин И. Б. Об одном классе решений нелинейного уравнения для потенциала скоростей // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38, вып. 2. С. 264–270.

13.   Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Численные методы механики сплошной среды. Т. 6 , № 4. Новосибирск, 1975. С. 106–115.

14.   Сидоров А.Ф. О некоторых классах решений уравнений нестационарной фильтрации // Численные методы механики сплошной среды. Т. 15, № 2. Новосибирск, 1984. С. 121–133.

15.   Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280, №1. С. 47–51.

16.   Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Решение нелинейных уравнений в частных производных геометрическим методом // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. C. 265–286.

17.   Сидоров А.Ф., Шапеев В.П, Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения к газовой динамике. Нововосибирск: Наука, 1984. 272 с.

18.   Bruce M., Hua X. An approximate link equation for the direct–detected optical PPM link // IPN Progress Report. Nov. 2014. No. 42-199A. 14 p.

19.   Boroson D.M., Robinson B.S., Murphy D.V., Burianek D.A., Khatri F., Kovalik J. M., Sodnik Z., Cornwell D. M. Overview and results of the lunar laser communication demonstration // Proc. of the SPIE. 2014. Vol.  8971. Article no. 89710S. P. 8971OS–8971OS-11.

20.   Лосев Д.В., Бардашов Д.С., Быков А.Г. Возбуждение полупроводникового диода коротким импульсом // Изв. вузов. Физика. 2015. Т. 58, № 8-2. С. 147–150.

21.   Алименков И.В., Пчёлкина Ю.Ж. Интегрирование в элементарных функциях двунаправленного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах для степенной нелинейности // Компьютерная оптика. 2014. Vol. 38, no. 3. С. 377–379.

22.   Рубина Л.И., Ульянов О.Н. К вопросу об отличиях в поведении решений линейного и нелинейного уравнений теплопроводности // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика. 2013. Т. 5, № 2. С. 52–59.

23.   Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Об одном методе решения уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 5. С. 1093–1101.

24.   Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Об одном подходе к решению неоднородных уравнений в частных производных // Вест. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. T. 27, вып. 3. С. 355–364. doi 10.20537/vm170306

Поступила 23.12.2022

После доработки 9.03.2023

Принята к публикации 20.03.2023

Рубина Людмила Ильинична
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: rli@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Л.И. Рубина. Об одном подходе к решению волнового уравнения для диэлектрических немагнитных сред // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 145-156

English

L.I. Rubina. One approach to the solution of the wave equation for dielectric nonmagnetic media

For dielectric nonmagnetic media, we consider a wave equation obtained from the system of Maxwell's equations in the framework of nonlinear optics with the classical approach. The equation describes the dynamics of the radiation field in glasses, liquids, gases, and many crystals. The dynamics of the electric field of radiation can be analyzed only with the knowledge of the polarization response of the medium to the force action of this field. Therefore, the wave equation can be considered underdetermined. It contains terms depending on the intensity $E=E(x,y,z,t)$ of the electric field of the radiation and a term depending on the polarization response of the medium $P=P(x,y,z,t)$. We propose a method for solving this underdetermined equation. Since the polarization response of the medium is caused by the force action of the electric field of radiation, we assume that the equation $P=P(E)$, $E(x,y,z,t)=\rm{const}$, defines a level surface of the function $P$. Under this assumption, the wave equation reduces to an ODE. The independent variable in the ODE is the function $E$. The function $E=E(x,y,z,t)$ is found by solving the first-order partial differential equation (the basic equation) $E_{t}=f_{0}(E)$. The solution of the ODE and the form of $E=E(x,y,z,t)$ (hence, the dynamics of the radiation field) depend on the choice of an arbitrary function $f_{0}(E)$. The form of $E=E(x,y,z,t)$ and $P=P(E)$ is written for four functions $f_{0}(E)$. These solutions are found up to an arbitrary constant.

Keywords: wave equation, polarization, ODE system, functional arbitrariness

Received December 23, 2022

Revised March 9, 2023

Accepted March 20, 2023

Ljudmila Il’inichna Rubina, Cand. Sci (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: rli@imm.uran.ru

Cite this article as: L.I. Rubina. One approach to the solution of the wave equation for dielectric nonmagnetic media. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 145–156.

[References -> on the "English" button bottom right]