В.Г. Пименов, А.Б. Ложников. Метод Ричардсона для диффузионного уравнения с функциональным запаздыванием ... С. 133-144

УДК 519.633

MSC: 65N06, 65Q20

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-133-144

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 22-21-00075).

Рассматривается диффузионное уравнение с функциональным эффектом запаздывания. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции разностного метода Кранка — Николсон с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шагов дискретизации по времени $\Delta$ и пространству $h$. Конструируется базовый метод Кранка— Николсон с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Изучается порядок невязки без интерполяции базового метода и выписываются коэффициенты разложения невязки относительно $\Delta$ и $h$. Выписывается уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности. При определенных предположениях обосновывается законность применение процедуры экстраполяции по Ричардсону, и строится соответствующий метод. Главное из этих предположений — согласованность порядков малости $\Delta$ и $h$.  Доказывается, что метод имеет порядок $O(\Delta^4+h^4)$. Приводятся результаты численных экспериментов на тестовых примерах.

Ключевые слова: уравнение диффузии, функциональное запаздывание, метод Кранка — Николсон, кусочно-кубическая интерполяция, экстраполяция продолжением, метод Ричардсона

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Wu J. Theory and application of partial functional differential equations. NY: Springer-Verlag, 1996. 438 p.

2.   Камонт З., Кропельницка К. Неявные разностные методы для эволюционных функционально-дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычислит. математики. 2011. Т. 14, № 4. C. 361–379.

3.   Пименов В.Г., Ложников А.Б. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. C. 178–189.

4.   Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. 134 с.

5.   Sun Z., Zhang Z. A linearized compact difference scheme for a class of nonlinear delay partial differetial equations // Appl. Math. Model. 2013. Vol. 37. P. 742–752. doi: 10.1016/j.apm.2012.02.036

6.   Li D., Zhang C., Wen J. A note on compact finite difference method for reaction-diffusion equations with delays // Appl. Math. Model. 2015. Vol. 39. P. 1749–1547. doi: 10.1016/j.apm.2014.09.028

7.   Amiraliyev G.M., Cimen E., Amirali I., Cakir M. High-order finite difference technique for delay pseudo-parabolic equations // J. Comput. Appl. Math. 2017. Vol. 321. P. 1–7.
doi: 10.1016/j.cam.2017.02.017

8.   Wang W., Rao W., Zhong P. A posteriori error analysis for Crank-Nicolson-Galerkin type methods for reaction-diffusion equations with delay // SIAM J. Sci. Comput. 2018. Vol. 40. P. A1095–A1120.
doi: 10.1137/17M1143514

9.   Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. 320 с.

10.   Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

11.   Qian L.Z., Gu H.B. High order compact scheme combined with extrapolation technique for solving convection-diffusion equations // J. Shandong Univ. Nat. Sci. 2003. Vol. 46, no. 12. P. 39–43.

12.   Zhang Q., Zhang C. A compact difference scheme combined with extrapolation techniques for solving a class of neutral delay parabolic differential equations // Appl. Math. Letters. 2013. Vol. 26, no. 25. P. 306–312. doi: 10.1016/j.aml.2012.09.015

13.   Zhang C., Tan Z. Linearized compact difference methods combined with Richardson extrapolation for nonlinear delay Sobolev equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2020. Vol. 1. Article no. 105461. doi: 10.1016/j.cnsns.2020.105461

14.   Deng D., Chen J. Explicit Richardson extrapolation methods and their analyses for solving two-dimensional nonlinear wave equation with delays // Networks and Heterogeneous Media. 2023. Vol. 18, no. 1. P. 412–443. doi: 10.3934/nhm.2023017

15.   Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.; Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 256 с.

16.   Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 426 с.

17.   Программы для решения уравнений в частных производных с запаздыванием [e-resource]. 2023. URL: https://github.com/PDDEsoft/Parabolic .

Поступила 14.03.2023

После доработки 10.04.2023

Принята к публикации 17.04.2023

Пименов Владимир Германович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: v.g.pimenov@urfu.ru

Ложников Андрей Борисович
канд. физ.-мат. наук, доцент
науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: ablozhnikov@yandex.ru

Ссылка на статью: В.Г. Пименов, А.Б. Ложников. Метод Ричардсона для диффузионного уравнения с функциональным запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 133-144

English

V.G. Pimenov, A.B. Lozhnikov. Richardson method for a diffusion equation with functional delay

A diffusion equation with a functional delay effect is considered. The problem is discretized. Constructions of the Crank–Nicolson difference method with piecewise linear interpolation and extrapolation by continuation are given; the method here has the second order of smallness with respect to the sampling steps in time $\Delta$ and space $h$. The basic Crank–Nicolson method with piecewise cubic interpolation and extrapolation by continuation is constructed. The order of the residual without interpolation of the base method is studied, and the expansion coefficients of the residual with respect to $\Delta$ and $h$ are written. An equation for the leading term of the asymptotic expansion of the global error is written. Under certain assumptions, the validity of the application of the Richardson extrapolation procedure is substantiated and an appropriate method is constructed. The main of these assumptions is the consistency of the orders of smallness of $\Delta$ and $h$. It is proved that the method has order $O(\Delta^4+h^4)$. The results of numerical experiments on test examples are presented.

Keywords: diffusion equation, functional delay, Crank–Nicolson method, piecewise cubic interpolation, extrapolation by continuation, Richardson method

Received March 14, 2023

Revised April 10, 2023

Accepted April 17, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-21-00075).

Vladimir Germanovich Pimenov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: v.g.pimenov@urfu.ru

Andrey Borisovich Lozhnikov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ablozhnikov@yandex.ru

Cite this article as: V.G. Pimenov, A.B. Lozhnikov. Richardson method for a diffusion equation with functional delay. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 133–144.

[References -> on the "English" button bottom right]