УДК 512.544
MSC: 20C40
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-184-188
Полный текст статьи (Full text)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №19-01-00566 А.
Группы Кокстера имеют многочисленные приложения в математике и за ее пределами, а группы с 3-транспозициями Б. Фишера лежат в основе внутреннего геометрического анализа теории конечных (простых) групп. Пересечение этих классов групп состоит из конечных групп Вейля $W(A_n)\simeq S_{n+1}$, $W(D_n)$, $W(E_n)$ ($n=6,7,8$) простых конечномерных алгебр и групп Ли. В предыдущих работах А.И. Созутова, А.А. Кузнецова и автора были найдены системы $S$ порождающих трансвекций (3-транспозиций)
групп $Sp_{2m}(2)$ и $O^\pm_{2m}(2)$, графы $\Gamma (S)$ которых являются деревьями. Множество $\{ \Gamma_n\}$ ($n\geq m$) вложенных друг в друга графов называем $E$-серией, если они являются деревьями, содержат подграф $E_6$ и их подграфы с вершинами $m,m+1,\ldots,n$ являются простыми цепями. В настоящей работе найдены генетические коды групп $Sp_{2m}(2)$ и $O^\pm_{2m}(2)$, $8\leq 2m\leq 20$, близкие к генетическим кодам некоторых групп Кокстера. Основная гипотеза исследований: группы $Sp_{2m}(2)$ и $O^\pm_{2m}(2)$ (пп. (ii)-(iii) в теореме Фишера) можно получить из соответствующих бесконечных групп Кокстера с помощью одного или двух дополнительных соотношений вида $w^2=1$. Рассматриваемые в работе графы $I_n$ содержат подграф $E_6$ и составляют $E$-серию вложенных графов $\{I_n\,\mid\, n=7, 8,\ldots\}$, в которых подграф $I_n\setminus E_6$ - простая цепь. В работе доказано, что для групп $X(I_n)$, полученных из групп Кокстера $G(I_n)$ наложением дополнительного соотношения $(s_4^ts_7)^2=1$, где $t=s_3s_2s_1s_5s_6s_3s_2s_5s_3s_4$, при указанных пределах изменения $n=4k+\delta$ ($\delta =0,1,2$) имеют место изоморфизмы $X(I_{4k+1})\simeq Sp_{4k}(2)\times Z_2$, $X(I_{2m})\simeq O^\pm_{2m}(2)$ (знак $\pm$ зависит от $m$). В доказательстве используется алгоритм Тодда - Кокстера системы GAP.
Ключевые слова: генетические коды, группы и графы Кокстера, группы Вейля, группы с 3-транспозициями, симплектические трансвекции
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fischer B. Finite groups generated by 3-transpositions. // Inventiones Math. 1971. Vol. 13, no.. 3. P. 232–246. doi: 10.1007/BF01404633
2. Aschbacher M. 3-transposition groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. (Cambridge Tracts in Math.; vol. 124). 260 p.
3. Горенстейн Д. Конечные простые группы. М.: Мир, 1985. 352 с.
4. McLaughlin J. Some subgroups of $SL_n(F_2)$ // Ill. J. Math. 1969. Vol. 13, no. 1. P. 108–115. doi: 10.1215/ijm/1256053741
5. Созутов А.И. О группах типа $\Sigma _4$, порожденных 3-транспозициями // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 1. С. 140–149.
6. Созутов А.И. Об алгебрах Ли с мономиальным базисом // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 5. С. 188–201.
7. Созутов А.И., Кузнецов А.А., Синицин В.М. О системах порождающих некоторых групп с 3-транспозициями // Сиб. электрон. мат. изв. 2013. Т. 10. C. 285–301.
8. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Коскстера и системы Тикса, группы, порожденные отражениями системы корней. М.: Мир, 1972. 334 с.
9. Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980. 240 с.
10. Кондратьев А.С. Группы и алгебры Ли / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2009. 310 с.
11. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.
12. О’Мира О. Лекции о симплектических группах. М.: Мир, 1979. 167 с.
Поступила 17.09.2019
После доработки 25.10.2019
Принята к публикации 18.11.2019
Синицин Владимир Михайлович
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: sinkoro@yandex.ru
Ссылка на статью: В.М. Синицин. О генетических кодах некоторых групп с 3-транспозициями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 184-188.
English
V.M. Sinitsin. On genetic codes of certain groups with 3-transpositions
Coxeter groups have numerous applications in mathematics and beyond, and B. Fischer's 3-transposition groups underly the internal geometric analysis in the theory of finite (simple) groups. The intersection of these classes of groups consists of finite Weyl groups $W(A_n)\simeq S_{n+1}$, $W(D_n)$, and $W(E_n)$ for $n=6,7,8$, simple finite-dimensional algebras, and Lie groups. In previous papers by A.I. Sozutov, A.A. Kuznetsov, and the author, systems $S$ of generating transvections (3-transpositions) of groups $Sp_{2m}(2)$ and $O^\pm_{2m}(2)$ were found such that the graphs $\Gamma(S)$ are trees. A set $\{\Gamma_n\}$, $n\geq m$, of nested graphs is called an $E$-series if these graphs are trees, contain the subgraph $E_6$, and their subgraphs with vertices $m,m+1,\ldots,n$ are simple chains. In the present paper, we find genetic codes of the groups $Sp_{2m}(2)$ and $O^\pm_{2m}(2)$, $8\leq 2m \leq 20$; these codes are close to the genetic codes of some Coxeter groups. Our main hypothesis is the following: the groups $Sp_{2m}(2)$ and $O^\pm_{2m}(2)$ (cases (ii)-(iii) in Fischer's theorem) can be obtained from the corresponding infinite Coxeter groups with the use of one or two additional relations of the form $w^2=1$. The graphs $I_n$ considered in this paper contain the subgraph $E_6$ and comprise an $E$-series of nested graphs $\{I_n\,\mid\,n=7, 8,\ldots\}$, in which the subgraph $I_n\setminus E_6$ is a simple chain. We prove that the isomorphisms $X(I_{4k+1})\simeq Sp_{4k}(2)\times Z_2$ and $X(I_{2m})\simeq O^\pm_{2m}(2)$ (the sign $\pm$ depends on $m$) hold for the groups $X(I_n)$ obtained from the Coxeter groups $G(I_n)$ by imposing an additional relation $(s_4^ts_7)^2=1$, where $t=s_3s_2s_1s_5s_6s_3s_2s_5s_3s_4$, if $n=4k +\delta$ ($\delta=0,1,2$). The proof uses the Todd-Coxeter algorithm from the GAP system.
Keywords: genetic codes, Coxeter groups and graphs, Weyl groups, 3-transposition groups, symplectic transvections
Received September 17, 2019
Revised October 25, 2019
Accepted November 18, 2019
Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566 A).
Vladimir Mihaylovich Sinitsin, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: sinkoro@yandex.ru
Cite this article as: V.M.Sinitsin. On genetic codes of certain groups with 3-transpositions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 184–188.
