А.Р. Данилин. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с малым коэффициентом коэрцитивности ... С. 51-61

УДК 517.977

MSC: 49J20, 34E05

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-51-61

Полный текст статьи

Работа выполнена при финансовой поддержке гос. проекта "Развитие концепции позиционного управления, минимаксного подхода  и сингулярных возмущений в теории дифференциальных уравнений".

Рассматривается задача оптимального управления решениями краевой задачи для сингулярно возмущенного эллиптического оператора в области $\Omega$ с распределенным управлением
 $$\mathcal{L}_\varepsilon z_\varepsilon \mathop{:=}\nolimits  -\varepsilon^2 \Delta z_\varepsilon  +  a(x) z_\varepsilon = f + u_\varepsilon,\ \  x\in \Omega,\ \  z_\varepsilon\in H^1_0(\Omega),$$
 $$ u_\varepsilon\in\mathcal{Г}\mathop{:=}\nolimits\{u(\cdot)\in L_2(\Omega)\colon \|u(\cdot)\|\leqslant 1 \,\},$$
 $$ J\mathop{:=}\nolimits\|z_\varepsilon(\cdot)-z_d(\cdot)\|^2 + \nu^{-1}\|u_\varepsilon(\cdot)\|^{2}
 \rightarrow \mbox{inf}.$$
Получены априорные оценки системы оптимальности, которые показывают, что формальное асимптотическое решение системы оптимальности есть асимптотическое разложение  искомого решения этой системы. Построено полное асимптотическое разложение в смысле Эрдейи по степеням малого параметра решения системы оптимальности для рассматриваемой задачи оптимального управления. В отличие от предыдущих работ аналогичной тематики, неотрицательный потенциал  $a(\cdot)$ может  обращаться в ноль в конечном числе точек. Данная задача  обладает большей регулярностью по сравнению с задачей исследования  асимптотического разложения краевой задачи для указанного оператора. Асимптотическое разложение решения состоит из внешнего  степенного разложения и внутреннего (в окрестности границы области  $\Omega$) с экспоненциально убывающими коэффициентами.

Ключевые слова: оптимальное управление, асимптотическое  разложение, сингулярно  возмущенные задачи, малый параметр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями c частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

2.   Еrdelуi A., Wyman М. The asymptotic evaluation of certain integral // Аrсh. Ration. Mech. Anal. 1963. Vol. 14. P. 217–260.

3.   Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

4.   Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с.

5.   Данилин А.Р. Аппроксимация сингулярно возмущенной эллиптической задачи оптимального управления // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 3–12.

6.   Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.

7.   Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

8.   Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

9.   Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью // Мат. сб. 1998. Т. 189, №11. С. 27–60.

10.   Данилин А.Р. Оптимальное граничное управление в области с малой полостью // Уфим. мат. журн. 2012. Т. 4, № 2. С. 87–100.

11.   Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. С. 3–122.

Поступила 20.05.2018

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

English

A.R. Danilin. Asymptotic expansion of a solution to a singular perturbation optimal control problem with a small coercivity coefficient

We consider an optimal control problem for solutions of a boundary value problem for a singularly perturbed elliptic operator in a domain $\Omega$ with distributed control
$$
\mathcal{L}_\varepsilon z_\varepsilon\mathop{:=}\nolimits -\varepsilon^2 \Delta z_\varepsilon+ a(x) z_\varepsilon= f + u_\varepsilon, \ \  x\in \Omega,\ \  z_\varepsilon\in H^1_0(\Omega),
$$
$$
u_\varepsilon\in\mathcal{U} \mathop{:=}\nolimits\{u(\cdot)\in L_2(\Omega) \colon \|u(\cdot)\|\leqslant 1 \,\},
$$
$$
J\mathop{:=}\nolimits \|z_\varepsilon(\cdot)-z_d(\cdot)\|^2 + \nu^{-1}\|u_\varepsilon(\cdot)\|^{2}\rightarrow \mbox{inf}.
$$

A priori bounds are obtained for the optimality system, which show that a formal asymptotic solution of the optimality system is an asymptotic expansion of the required solution of this system. A complete asymptotic expansion in the Erdelyi sense in the powers of the small parameter is constructed for the solution of the optimality system for the optimal control problem under consideration. In contrast to the previous papers on this topic, the nonnegative potential $a(\cdot)$ may vanish at a finite number of points. This problem has greater regularity as compared to the problem of studying the asymptotic expansion of the boundary value problem for this operator. The asymptotic expansion consists of an outer power expansion and an inner expansion (in a neighborhood of the boundary of $\Omega$) with exponentially decreasing coefficients.

Keywords: optimal control, asymptotic expansion, singular perturbation problems, small parameter

The paper was received by the Editorial Office on May 20, 2018.

Funding Agency: This work was supported by the state project “Development of the concept of positional control, minimax approach, and singular perturbations in the theory of differential equations".

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru. 

[References -> on the "English" button bottom right]