В. Го, А.А. Бутурлакин, Д.О. Ревин. Эквивалентность существования несопряженных и неизоморфных холловых π-подгрупп ... С. 43-50

УДК 512.542

MSC: 20D20

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-43-50

Первый автор поддержан Национальным естественнонаучным фондом Китая (NNSF), грант № 11771409. Второй автор поддержан программой фундаментальных научных исследований СО РАН No I.1.1., проект № 0314-2016-0001. Третий автор поддержан Стипендиальной инициативой Президента Китайской академии наук (PIFI), грант № 2016VMA078, и Российским фондом фундаментальных исследований, грант No 17-51-45025.

Пусть $\pi$ - некоторое множество простых чисел. Подгруппа $H$ конечной группы $G$ называется холловой $\pi$-подгруппой, если любой простой делитель порядка $|H|$ подгруппы $H$ принадлежит $\pi$, а индекс $|G:H|$ не делится на числа из $\pi$.  Знаменитая теорема Холла утверждает, что разрешимая конечная группа всегда содержит холлову $\pi$-подгруппу, и любые две холловы $\pi$-подгруппы в такой группе сопряжены. Справедливо обращение теоремы Холла: для любой неразрешимой группы $G$ можно указать множество $\pi$ такое, что $G$ не содержит холловых $\pi$-подгрупп. Тем не менее, холловы $\pi$-подгруппы могут существовать и в неразрешимой группе. Известны примеры множеств $\pi$ таких, что в любой конечной группе, содержащей холлову $\pi$-подгруппу, все холловы $\pi$-подгруппы сопряжены (и, как следствие, изоморфны). Так в 1987 г. Ф. Гросс показал, что этим свойством обладает любое множество $\pi$ нечетных простых чисел. Наряду с этим, в неразрешимых группах для некоторых $\pi$ холловы $\pi$-подгруппы могут быть несопряженными, но изоморфными (скажем, в $PSL_2(7)$ для $\pi=\{2,3\}$), и даже неизоморфными (в $PSL_2(11)$  для $\pi=\{2,3\}$). В работе доказано, что для множества $\pi$ существование конечной группы с несопряженными холловыми $\pi$-подгруппами влечет существование группы с  неизоморфными холловыми $\pi$-подгруппами. Обратное утверждение очевидно.

Ключевые слова: холлова $\pi$-подгруппа, свойство $\mathscr C_\pi$, сопряженные подгруппы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Hall P. Theorems like Sylow‘s // Proc. London Math. Soc. 1956. Vol. s3-6, no. 22. P. 286–304. doi: 10.1112/plms/s3-6.2.286 .

2.   Gross F. Conjugacy of odd order Hall subgroups // Bull. London Math. Soc. 1987. Vol. 19, no. 4. P. 311–319. doi: 10.1112/blms/19.4.311 .

3.   Buturlakin A.A., Revin D.O. On p-complements of finite groups // Сиб. электрон. мат. изв. 2013. Vol. 10. P. 414–417.

4.   Нестеров М.Н. Арифметика сопряженности p-дополнений // Алгебра и логика. 2015. Vol. 54, no. 1. P. 53–69. doi: 10.1007/s10469-015-9320-2 .

5.   Ljunggren W. Einige S$\ddot{\mathrm{a}}$tze $\ddot{\mathrm{u}}$ber unbestimmte Gleichungen von der Form $\frac{x^n-1}{x-1}=y^q$ // Norsk Mat. Tidsskr., 1943, vol. 25, pp. 17-20

6.   Вдовин Е.П., Ревин Д.О. Теоремы силовского типа // Успехи мат. наук. 2011. Vol. 66, № 5. P. 3–46. doi: 10.4213/rm9440 .

7.   Вдовин Е.П., Ревин Д.О. О пронормальности холловых подгрупп // Сиб. мат. журн. 2013. Vol. 54, no. 1. P. 35–43. doi: 10.1134/S0037446613010035 .

8.   Нестеров М.Н. О пронормальности и сильной пронормальности холловых подгрупп // Сиб. мат. журн. 2017. Vol. 58, № 1. P. 165–173. doi: 10.17377/smzh.2017.58.116 .

9.   Вдовин Е.П., Нестеров М.Н., Ревин Д.О. О пронормальности холловых подгрупп в своем нормальном замыкании // Алгебра и логика. 2017. Vol. 56, № 6. P. 573–580. doi: 10.17377/alglog.2017.56.603 .

10.   Го В., Ревин Д.О. О классе групп с пронормальными $\pi$-холловыми подгруппами // Сиб. мат. журн. 2014. Vol. 55, no. 3. P. 509–524. doi: 10.1134/S0037446614030033 .

11.   Guo W. Structure theory of canonical classes of finite groups. Berlin, Springer, 2015. 359 p. ISBN: 9783662457467 .

12.   Hall P. Phillip Hall lecture notes on group theory – Part 6. Cambridge: University of Cambridge, 1951–1967. Available at “Washington University Digital Gateway”:
http://omeka.wustl.edu/omeka/items/show/10788 .

13.   Вдовин Е.П., Ревин Д.О. Пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах // Сиб. мат. журн. 2012. Vol. 53, no. 3. P. 527–542. doi: 10.1134/S0037446612020231 .

14.   Вдовин Е.П., Ревин Д.О. Существование пронормальных $\pi$-холловых подгрупп в $E_\pi$-группах // Сиб. мат. журн. 2015. Vol. 56, no. 3. P. 481–486. doi: 10.1134/S0037446615030015 .

15.   Revin D.O., Vdovin E.P. Frattini argument for Hall subgroups // J. Algebra. 2014. Vol. 414. P. 95–104. doi: 10.1016/j.jalgebra.2014.04.031 .

16.   Guo W., Revin D.O.  Pronormality and submaximal $\mathfrak{X}$-subgroups // Communications in Mathematics and Statistics. 2018. P. 1-29. Published online.
 doi: 10.1007/s40304-018-0154-9 .

17.   Suzuki M. Group theory II. N Y; Berlin; Heidelberg; Tokyo: Springer-Verlag, 1986. 624 p. ISBN: 978-3-642-86887-0 .

Поступила 7.05.2018

Го Вэньбинь
д-р физ.-мат. наук, профессор
Департамент математики, Университет Науки и Технологии Китая,
г. Хефей, Китай
e-mail: wbguo@ustc.edu.cn

Бутурлакин Александр Александрович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН;
Новосибирский государственный университет,
г. Новосибирск
e-mail: buturlakin@math.nsc.ru

Ревин Данила Олегович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН;
Новосибирский государственный университет,
г. Новосибирск;
Департамент математики, Университет Науки и Технологии Китая,
г. Хефей, Китай
e-mail: revin@math.nsc.ru

English

W. Guo, A.A. Buturlakin, D.O. Revin. Equivalence of the existence of nonconjugate and nonisomorphic Hall $\pi$-subgroups.

Let $\pi$ be some set of primes. A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called a Hall $\pi$-subgroup if any prime divisor of the order $|H|$ of the subgroup $H$ belongs to $\pi$ and the index $|G:H|$ is not a multiple of any number in $\pi$. The famous Hall theorem states that a solvable finite group always contains a Hall $\pi$ subgroup and any two Hall $\pi$-subgroups of such group are conjugate. The converse of the Hall theorem is also true: for any nonsolvable group $G$, there exists a set $\pi$ such that $G$ does not contain Hall $\pi$-subgroups. Nevertheless, Hall $\pi$-subgroups may exist in a nonsolvable group. There are examples of sets $\pi$ such that, in any finite group containing a Hall $\pi$-subgroup, all Hall $\pi$-subgroups are conjugate (and, as a consequence, are isomorphic). In 1987 F. Gross showed that any set $\pi$ of odd primes has this property. In addition, in nonsolvable groups for some sets $\pi$, Hall $\pi$-subgroups can be nonconjugate but isomorphic (say, in $PSL_2(7)$ for $\pi=\{2,3\}$) and even nonisomorphic (in $PSL_2(11)$ for $\pi=\{2,3\}$). We prove that the existence of a finite group with nonconjugate Hall $\pi$-subgroups for a set $\pi$ implies the existence of a group with nonisomorphic Hall $\pi$-subgroups. The converse statement is obvious.

Keywords: Hall $\pi$-subgroup, $\mathscr C_\pi$ condition, conjugate subgroups.

The paper was received by the Editorial Office on May 7, 2018.

Funding Agency: The first author is supported by the National Natural Science Foundation of China (project no. 11771409). The second author is supported by Program I.1.1 for Fundamental Research of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (project no. 0314-2016-0001). The third author is supported by CAS President's International Fellowship Initiative (project no. 2016VMA078) and by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 17-51-45025).

Wenbin Guo, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., University of Science and Technology of China, Hefei, 230026 China, e-mail: wbguo@ustc.edu.cn.

Aleksandr Aleksandrovich Buturlakin, Cand. Sci (Phys.-Math.), Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia; Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: buturlakin@math.nsc.ru.

Danila Olegovich Revin, Dr. Phys.-Math. Sci, Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia; Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia; University of Science and Technology of China, Hefei, 230026 China, e-mail: revin@math.nsc.ru.

[References -> on the "English" button bottom right]