УДК 517.518.2
MSC: 26A45, 26A99
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-155-168
Полный текст статьи (Full text)
Для непрерывной на отрезке вещественнозначной функции $f$ вводится понятие модуля фрактальности $\nu(f, \varepsilon)$, сопоставляющего каждому $\varepsilon > 0$ минимальное число квадратов со сторонами длины $\varepsilon$, параллельными осям координат, которыми можно покрыть график функции $f$. Для невозрастающей функции $\mu: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ рассматривается класс $F^{\mu}$ непрерывных на отрезке функций таких, что $\nu(f, \varepsilon) = O(\mu(\varepsilon))$. Описано соотношение классов $F^{\mu_1}$ и $F^{\mu_2}$ при различных $\mu_1$ и $\mu_2$. Установлена связь между классами $F^{\mu}$ и классами непрерывных функций ограниченной вариации $BV_{\Phi}[a, b] \cap C[a, b]$ для произвольных выпуклых функций $\Phi$. А именно, имеет место вложение
\begin{equation*}
BV_{\Phi}[a,b] \cap C[a,b] \subset F^{\frac{\Phi^{-1}(\varepsilon)}{\varepsilon^2}}.
\end{equation*}
Строится контрпример, показывающий, что данное вложение не улучшаемо. Далее показано, что равенство классов $F^{\mu}$ и $BV_{\Phi}[a,b] \cap C[a,b]$ имеет место только в случае
\begin{equation*}
BV[a,b] \cap C[a,b] = F^{1/\varepsilon},
\end{equation*}
где $BV[a,b]$ — функции классической ограниченной вариации. Для остальных случаев построен контрпример, показывающий, что если $\mu(\varepsilon)$ растет быстрее $\dfrac{1}{\varepsilon}$ при $\varepsilon \to +0$, то класс $F^{\mu}$ не вкладывается ни в какой из классов $BV_{\Phi}[a, b]$.
Ключевые слова: фрактальная размерность, ограниченная вариация
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Xuefei Wang, Chunxia Zhao, Xia Yuan. A review of fractal functions and applications // Fractals. 2022. Vol. 30, no. 6. Article no. 22501134. doi: 10.1142/S0218348X22501134
2. Gridnev M.L. Divergence of Fourier series of continuous functions with restriction on the fractality of their graphs // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P. 46–50.
3. Гриднев М.Л. Сходимость тригонометрических рядов Фурье функций с ограничением на фрактальность их графиков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 4. С. 104–109. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-104-109
4. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: ГИМФЛ, 1958. 272 с.
5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИМФЛ, 1961. 937 с.
6. Гриднев М.Л. О классах функций с ограничением на фрактальность их графика // Proc. of the 48th Internat. Youth School-Conf. “Modern Problems in Mathematics and its Applications”. Yekaterinburg, 2017. Vol. 1894. С. 167–173. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1894/appr5.pdf
Поступила 17.03.2023
После доработки 20.10.2023
Принята к публикации 23.10.2023
Масютин Даниил Игоревич
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: newselin@mail.ru
Ссылка на статью: Д.И. Масютин. О связи классов функций ограниченной вариации и классов функций с фрактальным графиком // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 155-168
English
D.I. Masyutin. On the connection between classes of functions of bounded variation and classes of functions with fractal graph
For a real-valued function $f$ continuous on a closed interval, the modulus of fractality $\nu(f, \varepsilon)$ is defined for every $\varepsilon > 0$ as the minimum number of squares with sides of length $\varepsilon$ parallel to the coordinate axes that can cover the graph of $f$. For a nonincreasing function $\mu: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$, we consider the class $F^{\mu}$ of functions continuous on a closed interval and such that $\nu(f, \varepsilon) = O(\mu(\varepsilon))$. The relationship between the classes $F^{\mu_1}$ and $F^{\mu_2}$ is described for various $\mu_1$ and $\mu_2$. A connection is established between the classes $F^{\mu}$ and the classes of continuous functions of bounded variation $BV_{\Phi}[a, b] \cap C[a, b]$ for arbitrary convex functions $\Phi$. Namely, there is an inclusion
$$
BV_{\Phi}[a,b] \cap C[a,b] \subset F^{\frac{\Phi^{\,-1}(\varepsilon)}{\varepsilon^2}}.
$$
A counterexample is constructed showing that this inclusion cannot be improved. It is further shown that the equality of the classes $F^{\mu}$ and $BV_{\Phi}[a,b] \cap C[a,b]$ occurs only in the case
$$
BV[a, b] \cap C[a,b] = F^{1/\varepsilon},
$$
where $BV[a,b]$ are functions of classical bounded variation. For other cases, a counterexample is constructed showing that if $\mu(\varepsilon)$ grows faster than $\dfrac{1}{\varepsilon}$ as $\varepsilon \to +0$, then the class $F^{\mu} $ is not a subclass of any of the classes $BV_{\Phi}[a, b]$.
Keywords: fractal dimension, bounded variation
Received March 17, 2023
Revised October 20, 2023
Accepted October 23, 2023
Daniil Igorevich Masyutin, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: newselin@mail.ru
Cite this article as: D.I. Masyutin. On the connection between classes of functions of bounded variation and classes of functions with fractal graph. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 155–168.
[References -> on the "English" button bottom right]
