УДК 512.542
MSC: 20F50
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-146-154
Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований РАН (проект FWNF-2022-0002).
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S160–S167. (Abstract)
Доказываются следующие результаты. Пусть $d$ — натуральное число, $G$ — группа конечной четной экспоненты, в которой любая конечная подгруппа содержится в подгруппе, изоморфной прямому произведению $m$ групп диэдра, где $m\leqslant d$. Тогда $G$ конечна (и изоморфна прямому произведению групп диэдра в количестве, не превосходящем $d$). Далее, пусть $G$ — периодическая группа, $p$ — нечетное простое число. Если каждая конечная подгруппа из $G$ содержится в подгруппе, изоморфной прямому произведению $D_1\times D_2$, где $D_i$ — некоторая группа диэдра порядка $2p^{r_i}$, $r_i$ — натуральное число, $i=1,2$, то $G=M_1\times M_2$, где $M_i=\langle H_i,t\rangle$, $t_i$ — элемент порядка $2$, $H_i$ — локально циклическая $p$-группа и $h^{t_i}=h^{-1}$ для любого $h\in H_i$, $i=1,2$. Наконец, пусть $d$ — натуральное число, $G$ — разрешимая периодическая группа, в которой любая конечная подгруппа содержится в подгруппе, изоморфной прямому произведению групп диэдра, взятых в количестве, не превосходящем $d$. Тогда $G$ локально конечна и является расширением абелевой нормальной подгруппы посредством элементарной абелевой $2$-подгруппы порядка, не превосходящего $2^{2d}$.
Ключевые слова: периодическая группа, экспонента, силовская 2-подгруппа, группа диэдра, прямое произведение, насыщающее множество
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Internat. J. Algebra Comput. 1994. Vol. 4, no. 1–2. P. 1–308. doi: 10.1142/S0218196794000026
2. Лысенок И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. математическая. 1996. T. 60, № 3. C. 5–224.
3. Ivanov S.V., Olshanskii A.Yu. On finite and locally finite subgroups of free Burnside groups of large even exponents // J. Algebra. 1997. Vol. 195, no. 1. P. 281–284. doi: 10.1006/jabr.1996.6941
4. Шлепкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. 2005. T. 44, № 1. C. 114–125.
5. Шлепкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми группами // Мат. тр. 1998. T. 1, № 1. C. 129–138.
6. Amberg B., Kazarin L. Periodic groups saturated by dihedral subgroups // Proc. Conf. Ischia group theory 2010. World Sci. Publ., 2012. P. 11–19. doi: 10.1142/9789814350051_0002
7. Белоусов И.Н., Кондратьев А.С., Рожков А.В. XII школа-конференция по теории групп, посвященная 65-летию со дня рождения А. А. Махнева (информационная статья) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. T. 24, № 3. C. 286–295.
doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-286-295
8. Кухарев А.В., Шлепкин А.А. Локально конечные группы, насыщенные прямым произведением двух конечных групп диэдра // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. “Математика”. 2023. Т. 44. С. 71–81. doi: 10.26516/1997-7670.2023.44.71
9. Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972. T. 11, № 4. C. 470–493.
10. Лыткина Д.В., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 2. C. 394–399.
11. Lytkina D.V., Mazurov V.D. Fusion of 2-elements in periodic groups with finite Sylow 2-subgroups // Siberian Electronic Math. Reports. 2020. Vol. 17. P. 1953–1958. doi: 10.33048/semi.2020.17.131
12. Холл М. Теория групп. М.: Иностранная литература, 1962. 467 p.
Поступила 5.05.2023
После доработки 21.06.2023
Принята к публикации 26.06.2023
Лыткина Дарья Викторовна
д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
г. Новосибирск
e-mail: daria.lytkin@gmail.com
Мазуров Виктор Данилович
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН;
профессор кафедры
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
г. Новосибирск
e-mail: vic.mazurov@gmail.com
Ссылка на статью: Д.В. Лыткина, В.Д. Мазуров. О периодических группах с конечной нетривиальной силовской 2-подгруппой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 146-154
English
D.V. Lytkina, V.D. Mazurov. On periodic groups with a finite nontrivial Sylow 2-subgroup
The following results are proved. Let $d$ be a natural number, and let $G$ be a group of finite even exponent such that each of its finite subgroups is contained in a subgroup isomorphic to a direct product of $m$ dihedral groups, where $m\leqslant d$. Then $G$ is finite (and isomorphic to a direct product of at most $d$ dihedral groups). Next, suppose that $G$ is a periodic group and $p$ is an odd prime. If every finite subgroup of $G$ is contained in a subgroup isomorphic to a direct product $D_1\times D_2$, where $D_i$ is a dihedral group of order $2p^{r_i}$ with natural $r_i$, $i=1,2$, then $G=M_1\times M_2$, where $M_i=\langle H_i,t\rangle$, $t_i$ is an element of order $2$, $H_i$ is a locally cyclic $p$-group, and $h^{t_i}=h^{-1}$ for every $h\in H_i$, $i=1,2$. Now, suppose that $d$ is a natural number and $G$ is a solvable periodic group such that every of its finite subgroups is contained in a subgroup isomorphic to a direct product of at most $d$ dihedral groups. Then $G$ is locally finite and is an extension of an abelian normal subgroup by an elementary abelian $2$-subgroup of order at most $2^{2d}$.
Keywords: periodic group, exponent, Sylow 2-subgroup, dihedral group, direct product, saturating set
Received May 5, 2023
Revised June 21, 2023
Accepted June 26, 2023
Funding Agency: This work was supported by the Program for Fundamental Research of the Russian Academy of Sciences (project no. FWNF-2022-0002).
Daria Viktorovna Lytkina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian State University of Telecommunications and Information Sciences, Novosibirsk, 630102 Russia, e-mail: daria.lytkin@gmail.com
Victor Danilovich Mazurov, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member RAS, Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the RAS, Novosibirsk, 630090; Siberian State University of Telecommunications and Information Sciences, Novosibirsk, 630102 Russia, e-mail: vic.mazurov@gmail.com
Cite this article as: D.V. Lytkina, V.D. Mazurov. On periodic groups with a finite nontrivial Sylow 2-subgroup. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 146–154; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S160–S167.
[References -> on the "English" button bottom right]
