УДК 517.984
MSC: 35B27, 35B40
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-36-55
Работа частично поддержана Чешским грантовым агенством (грант No. 22-18739S) и Министерством просвещения Российской Федерации в рамках государственного задания (соглашение № 073-03-2023-010 от 26.01.2023).
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S33–S52. (Abstract)
В работе исследуется двумерная краевая задача для скалярного эллиптического уравнения второго порядка общего вида с частой сменой краевых условий. Смена задаётся на малых близко расположенных частях границы, на которых поочередно выставляются краевое условие Дирихле и нелинейное третье краевое условие. Распределение и размеры данных отрезков произвольны. Рассматривается случай, когда при усреднении краевое условие Дирихле полностью пропадает и остаётся только исходное нелинейное третье краевое условие. Основной результат — оценки на $W_2^1$- и $L_2$-нормы разности решений возмущённой и усреднённой задач, равномерные по $L_2$-норме правой части, характеризующие скорость сходимость. Показано, что данные оценки точны по порядку малости.
Ключевые слова: двумерная краевая задача, эллиптическое уравнение, частая смена, усреднение, операторная оценка
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974. 280 c.
2. Damlamian A., Li Ta-Tsien. Boundary homogenization for ellpitic problems // J. Math. Pures Appl. (9). 1987. Vol. 66, no. 4. P. 351–361.
3. Lobo M., Pérez M.E. Asymptotic behaviour of an elastic body with a surface having small stuck regions // Math. Model. Numer. Anal. 1988. Vol. 22, no. 4. P. 609–624. doi: 10.1051/m2an/1988220406091
4. Lobo M., Pérez M.E. Boundary homogenization of certain elliptic problems for cylindrical bodies // Bull. Sci. Math. 1992. Ser. 2. Vol. 116. P. 399–426.
5. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сб. 1993. Т. 184, № 6.
6. Friedman A., Huang Ch., Yong J. Effective permeability of the boundary of a domain // Comm. Part. Diff. Equat. 1995. Vol. 20, no. 1-2. P. 59–102. doi: 10.1080/03605309508821087
7. Беляев А.Ю., Чечкин Г.А. Усреднение операторов с мелкомасштабной структурой // Мат. заметки. 1999. Т. 65, № 4. C. 496–510.
8. Dávila J. A nonlinear elliptic equation with rapidly oscillating boundary conditions // Asympt. Anal. 2001. Vol. 28, № 3-4. P. 279–307.
9. Borisov D., Cardone G. Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 36. Article no. 365205. doi: 10.1088/1751-8113/42/36/365205
10. Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition // Ann. H. Poincaré. 2010. Vol. 11, no. 8. P. 1591–1627. doi: 10.1007/s00023-010-0065-0
11. Borisov D., Bunoiu R., G. Cardone. Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics // Zeit. Angew. Math. Phys. 2013. Vol. 64, no. 3. P. 439–472. doi: 10.1007/s00033-012-0264-2
12. Шарапов Т.Ф. О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае усредненного условия Дирихле // Мат. сб. 2014. Т. 205, № 10. С. 125–160.
13. Шарапов Т.Ф. О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий: критический случай // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, № 2. С. 66–96.
14. Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. Операторные $L_2$-оценки для двумерных задач с частой сменой краевых условий // Проблемы мат. анализа. 2022. Вып. 117. С. 31–46.
15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с.
16. Борисов Д.И. Об операторных оценках для плоских областей с нерегулярным искривлением границы: условия Дирихле и Неймана // Проблемы мат. анализа. 2022. Т. 116. С. 69–84.
17. Борисов Д.И. О равномерной резольвентной сходимости эллиптических операторов в областях с тонкими отростками // Проблемы мат. анализа. 2022. Т. 114. С. 15–36.
18. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. 416 с.
19. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техники. Сер. Современ. проблемы математики. 1976. Т. 9, №8. P. 5–130.
20. Borisov D.I., Kříž J. Operator estimates for non-periodically perforated domains with Dirichlet and nonlinear Robin conditions: vanishing limit // Anal. Math. Phys. 2023. Vol. 13. Article id. 5. doi: 10.1007/s13324-022-00765-8
21. Senik N.N. Homogenization for non-self-adjoint periodic elliptic operators on an infinite cylinder // SIAM J. Math. Anal. 2017. Vol. 49, no. 2. P. 874–898. https://doi.org/10.1137/15M1049981
22. Senik N.N. Homogenization for locally periodic elliptic operators // J. Math. Anal. Appl. 2021. Vol. 505, no. 2. Article no. 125581. doi: 10.1016/j.jmaa.2021.125581
23. Пастухова С.Е. Об оценках усреднения для сингулярно возмущенных операторов // Проблемы мат. анализа. 2020. Т. 106. P. 149–168.
24. Пастухова С.Е. $L_2$-аппроксимация резольвенты в усреднении эллиптических операторов высокого порядка // Проблемы мат. анализа. 2020. Т. 107. С. 113–132.
25. Пастухова С.Е. $L_2$-аппроксимация резольвенты в усреднении эллиптических операторов четвертого порядка // Мат. сб. 2021. Т. 212, № 1. С. 119–142. https://doi.org/10.4213/im459
26. Борисов Д.И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий // Изв. РАН. Сер. математическая. 2003. Т. 67, no. 6. C. 23–70.
Поступила 30.01.2023
После доработки 16.02.2023
Принята к публикации 20.02.2023
Борисов Денис Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор РАН
главный науч. сотрудник, зав. отделом
Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН;
Башкирский государственный педагогический университет имени М. Акмуллы
г. Уфа;
University of Hradec Králové
Hradec Kralove Czech Republic
e-mail: borisovdi@yandex.ru
Ссылка на статью: Д.И. Борисов. Операторные оценки в двумерных задачах с частой сменой в случае малых частей с условием Дирихле // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 36-55
English
D.I. Borisov. Operator estimates in two-dimensional problems with a frequent alternation in the case of small parts with the Dirichlet condition
A two-dimensional boundary value problem is studied for a scalar elliptic second-order equation of the general form with frequent alternation of boundary conditions. The alternation is defined on small, closely spaced parts of the boundary, on which the Dirichlet boundary condition and the nonlinear third boundary condition are set alternately. The distribution and size of these segments are arbitrary. The case is considered when, upon averaging, the Dirichlet boundary condition completely disappears and only the original nonlinear third boundary condition remains. The main result is estimates for the $W_2^1$- and $L_2$-norms of the difference between the solutions of the perturbed and averaged problems, which are uniform in the $L_2$-norm of the right-hand side and characterize the rate of convergence. It is shown that these estimates are exact in the order of smallness.
Keywords: two-dimensional boundary value problem, elliptic equation, frequent alternation, homogenization, operator estimate
Received January 30, 2023
Revised February 16, 2023
Accepted February 20, 2023
Funding Agency: The work is partially supported by the Grant Agency of Czech Republic (grant no. 22-18739S) and by the Ministry of Education of the Russian Federation in the framework of the state task (agreement No.073-03-2023-010 on 26.01.2023).
Denis Ivanovich Borisov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Mathematics of Ufa Federal Research Center of Russian Academy of Sciences, Ufa, 450008 Russia; Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmullah, Ufa, the Republic of Bashkortostan, Russia; University of Hradec Králové, Hradec Kralove, 500 03, Czech Republic e-mail: borisovdi@yandex.ru
Cite this article as: D.I. Borisov. Operator estimates in two-dimensional problems with a frequent alternation in the case of small parts with the Dirichlet condition. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 36–55; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S33–S52.
[References -> on the "English" button bottom right]
