УДК 512.556
MSC: 16Y60
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-56-66
При финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках государственного задания “Полукольца и их связи” (проект № 1.5879.2017/8.9).
Полный текст статьи (Full text)
Исследуется полукольцо всех непрерывных функций на произвольном топологическом пространстве $X$ со значениями в топологическом поле действительных чисел $\mathbb{R}\cup\{\varnothing\}$, пополненном изолированным нулем $\varnothing$, с поточечно заданными операциями сложения и умножения функций. Такое полукольцо совпадает с полукольцом $CP(X)$ всевозможных непрерывных частичных действительнозначных функций, областями определения которых являются открыто-замкнутые подмножества топологического пространства $X$. Описаны максимальные идеалы и максимальные конгруэнции полуколец $CP(X)$. Найден один класс максимальных подалгебр в полукольцах $CP(X)$. Доказана определяемость любого хьюиттовского пространства $X$ полукольцом $CP(X)$ над ним. Изучен случай конечных дискретных пространств $X$.
Ключевые слова: расширенное поле действительных чисел, топологическое пространство, полукольцо непрерывных функций, частичная функция, идеал, конгруэнция, подалгебра, определяемость
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вечтомов Е.М. О полукольцах частичных функций с расширенным сложением // Междунар. конф., посвященная 90-летию кафедры высшей алгебры мех.-мат. фак. МГУ: тез. докл. МГУ. Москва , 2019. С. 18–19.
2. Вечтомов Е.М., Лубягина Е.Н., Сидоров В.В., Чупраков Д.В. Элементы функциональной алгебры: в 2 т. Киров: ООО "Изд-во "Радуга-ПРЕСС", 2016. Т. 1, 384 с.; Т. 2, 316 с.
3. Гельфанд И.М., Колмогоров А.Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Докл. АН СССР. 1939. Т. 22, № 1. С. 11–15.
4. Гретцер Г. Общая теория решеток / пер. с англ. М.: Мир, 1982. 456 с.
5. Сикорский Р. Булевы алгебры / пер. с анг. М.: Мир, 1969. 376 с.
6. Энгелькинг Р. Общая топология / пер. с англ. М.: Мир, 1986. 752 с.
7. Chermnykh V. V. Functional representations of semirings // J. Math. Sci. (NY). 2012. Vol. 187, no. 2. P. 187–267.
8. Gillman L., Henriksen M., Jerison M. On a theorem of Gelfand and Kolmogoroff concerning maximal ideals in rings of continuous functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. Vol. 5, no. 3. P. 447–455.
9. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. NY: Springer-Verlag, 1960. 300 p.
10. Golan J.S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. 382 p.
Поступила 12.10.2022
После доработки 16.11.2022
Принята к публикации 21.11.2022
Вечтомов Евгений Михайлович
д-р физ.-мат. наук, профессор
заведующий кафедрой фундаментальной математики
Вятский государственный университет, г. Киров
e-mail: vecht@mail.ru
Лубягина Елена Николаевна
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры фундаментальной математики
доцент
Вятский государственный университет, г. Киров
e-mail: shishkina.en@mail.ru
Ссылка на статью: Е.М. Вечтомов, Е.Н. Лубягина. Полукольца непрерывных частичных числовых функций с расширенным сложением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 56-66
English
E.M. Vechtomov, E.N. Lubyagina. Semirings of continuous partial numerical functions with extended addition
The article deals with the semiring of all continuous functions on a topological space $X$ with values in the topological field of real numbers $\mathbb{R}\cup\{\varnothing\}$, which is completed by the isolated zero $\varnothing$. Operations of addition and multiplication over functions are pointwise. This semiring coincides with the semiring $CP(X)$ of all continuous partial real-valued functions whose domains are clopen subsets of the topological space $X$. The maximal ideals and maximal congruences of the semirings $CP(X)$ are described. A class of maximal subalgebras in the semirings $CP(X)$ is found. It is proved that any Hewitt space $X$ is defined by the semiring~$CP(X)$. The case of a finite discrete space $X$ is studied.
Keywords: extended field of real numbers, topological space, semiring of continuous functions, partial function, ideal, congruence, subalgebra, definability
Received October 12, 2022
Revised November 16, 2022
Accepted November 21, 2022
Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation under the state contract “Semirings and Their Connections” (project no. 1.5879.2017/8.9).
Evgenii Mikhailovich Vechtomov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Vyatka State University, Kirov, 610000, Russia, e-mail: vecht@mail.ru
Elena Nikolaevna Lubyagina, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Vyatka State University, Kirov, 610000, Russia, e-mail: shishkina.en@mail.ru
Cite this article as: E.M. Vechtomov, E.N. Lubyagina. Semirings of continuous partial numerical functions with extended addition. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 56–66.
[References -> on the "English" button bottom right]
