УДК 517.9
MSC: 49K20, 49N15, 47J06, 35R25
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-202-221
Полный текст статьи (Full text)
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 20-01-00199_а).
Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности — принципа Лагранжа (ПЛ) и принципа максимума Понтрягина (ПМП) — в регулярной параметрической нелинейной (невыпуклой) задаче оптимального управлении для параболического уравнения с граничным управлением и аддитивно зависящим от параметра операторным ограничением-равенством (метод возмущений). Множество допустимых управлений задачи и значения задающего ограничение-равенство оператора вкладываются в пространства суммируемых с квадратом функций. Основное предназначение регуляризованных ПЛ и ПМП — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений (МПР) в смысле Дж. Варги в рассматриваемой задаче. Регуляризованные ПЛ и ПМП формулируются как теоремы существования МПР, состоящих из минималей (субминималей) модифицированных функционалов Лагранжа, конструкции которых прямыt следствия субдифферециальных свойств полунепрерывной снизу и, вообще говоря, невыпуклой функции значений как функции параметра задачи. Они “преодолевают” свойства некорректности ПЛ и ПМП, являются регуляризирующими алгоритмами и служат теоретической основой для создания алгоритмов практического решения оптимизационной задачи.
Ключевые слова: нелинейное оптимальное управление, параболическое уравнение, операторное ограничение, метод возмущений, субдифференциалы негладкого анализа, двойственная регуляризация, минимизирующая последовательность, регуляризирующий алгоритм, принцип Лагранжа, теорема Куна — Таккера, принцип максимума Понтрягина
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
2. Гамкрелидзе Р.В. Математические работы Л.С. Понтрягина. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Тр. Междунар. конф., посвященной 90-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 31 августа — 6 сентября 1998 г.). Том I. Оптимальное управление. 1998. Т. 60. С. 5–23.
3. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352.
4. Tröltzsch F. Optimal control of partial differential equations. Theory, methods and applications. Providence, RI: AMS, 2010. 400 p. (Graduate Studies in Math.; vol. 112). doi: 10.1090/gsm/112
5. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна — Таккера в гильбертовом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 9. С. 1594–1615.
6. Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. C. 279–296. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-279-296
7. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. Москва: МЦНМО, 2011. 1056 с.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
9. Сумин М.И. Параметрическая двойственная регуляризация для задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 12. С. 2083–2102.
10. Сумин М.И. Регуляризация принципа максимума Понтрягина в выпуклой задаче оптимального граничного управления для параболического уравнения с операторным ограничением-равенством // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. C. 221–237. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-221-237
11. Сумин М.И. Устойчивая секвенциальная теорема Куна — Таккера в итерационной форме или регуляризованный алгоритм Удзавы в регулярной задаче нелинейного программирования // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, № 6. С. 947–977. doi: 10.7868/S0044466915060137
12. Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. CRM Proc. Lecture Notes. Vol. 2. Providence, RI: AMS, 1993. 153 p. doi: 10.1090/crmp/002
13. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth analysis and control theory. NY: Springer-Verlag, 1998. 278 p. (Graduate Texts in Math.; vol. 178). doi: 10.1007/b97650
14. Mordukhovich B.S. Variational analysis and generalized differentiation, I: Basic Theory. Berlin: Springer, 2006. 579 p. doi: 10.1007/3-540-31247-1
15. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
16. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
17. Плотников В.И. Теоремы единственности, существования и априорные свойства обобщенных решений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165, № 1. С. 33–35.
18. Casas E., Raymond J.-P., Zidani H. Pontryagin’s principle for local solutions of control problems with mixed control-state constraints // SIAM J. Control Optim. 2000. Vol. 39, no. 4. P. 1182–1203. doi: 10.1137/S0363012998345627
19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 c.
20. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: ГИФМЛ, 1959. 656 с.
21. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.
22. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990. 488 с.
23. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.
24. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. М.: Наука, 1989. 399 с.
Поступила 30.05.2022
После доработки 18.07.2022
Принята к публикации 22.07.2022
Сумин Михаил Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина
г. Тамбов;
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
г. Нижний Новгород
e-mail: m.sumin@mail.ru
Ссылка на статью: М.И. Сумин. Метод возмущений, субдифференциалы негладкого анализа и регуляризация правила множителей Лагранжа в нелинейном оптимальном управлении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 202-221
English
M.I. Sumin. Perturbation method, subdifferentials of nonsmooth analysis, and regularization of the Lagrange multiplier rule in nonlinear optimal control
We consider the regularization of classical optimality conditions — the Lagrange principle (LP) and the Pontryagin maximum principle (PMP) — in a regular parametric nonlinear (nonconvex) optimal control problem for a parabolic equation with boundary control and with an operator equality-constraint additively depending on the parameter (perturbation method). The set of admissible controls of the problem and the values of the operator defining the equality-constraint are embedded into the spaces of square-summable functions. The main purpose of the regularized LP and PMP is the stable generation of minimizing approximate solutions (MASs) in the sense of J. Warga in the problem under consideration. The regularized LP and PMP are formulated as existence theorems for MASs consisting of minimals (subminimals) of modified Lagrange functionals whose constructions are direct consequences of the subdifferential properties of a lower semicontinuous and, generally speaking, nonconvex value function as a function of the parameter of the problem. They “overcome” the ill-posedness properties of the LP and PMP, are regularizing algorithms, and serve as a theoretical basis for creating algorithms for the practical solution of an optimization problem.
Keywords: nonlinear optimal control, parabolic equation, operator constraint, perturbation method, subdifferentials of nonsmooth analysis, dual regularization, minimizing sequence, regularizing algorithm, Lagrange principle, Kuhn–Tucker theorem, Pontryagin maximum principle
Received May 30, 2022
Revised July 18, 2022
Accepted July 22, 2022
Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00199_a).
Mikhail Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tambov State University, Tambov, 392000 Russia; Nizhnii Novgorod State University, Nizhnii Novgorod, 603950 Russia, e-mail: m.sumin@mail.ru
Cite this article as: M.I. Sumin. Perturbation method, subdifferentials of nonsmooth analysis, and regularization of the Lagrange multiplier rule in nonlinear optimal control. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 202–221.
[References -> on the "English" button bottom right]
