УДК 517.977.1
MSC: 49J15, 58E25, 92D25
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-222-240
Полный текст статьи (Full text)
На заданном отрезке времени рассматривается комбинированное лечение ракового заболевания крови, состоящее из двух этапов. На первом этапе такого лечения пациент подвергается терапии, оказывающей мощное воздействие на его организм в целях ликвидации самого заболевания. На втором этапе на организм пациента действует терапия, обеспечивающая поддержание достигнутого положительного эффекта. Момент перехода от первого этапа лечения ко второму не фиксирован и зависит от состояния пациента. Проведение такого лечения математически описывается с помощью двумерной модели конкуренции Лотки — Вольтерры, переменными которой являются концентрации здоровых и раковых клеток. Эта модель содержит две ограниченные управляющие функции, выражающие интенсивность применяемых терапий. Качество такого комбинированного лечения оценивается с помощью минимизации целевой функции, описывающей динамику концентраций здоровых и раковых клеток в конце первого и второго этапов общего периода лечения. Для теоретического анализа этой оптимизационной задачи применяется принцип максимума Понтрягина для гибридных управляемых систем. Также приводятся и детально обсуждаются результаты численных расчетов, выполненных в среде BOCOP-2.2.1.
Ключевые слова: раковое заболевание крови, двумерная модель конкуренции Лотки — Вольтерры, гибридная управляемая система, оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. World Health Organization [site]. Available on: https://www.who.int/news-room/fact-sheets/deta il/cancer
2. Miller K.D., Siegel R.L., Lin C.C., Mariotto A.B., Kramer J.L., Rowland J.H., Stein K.D., Alteri R., Jemal A. Cancer treatment and survivorship statistics // A Cancer Journal for Clinicians. 2016. Vol. 66, no. 4. P. 271–289. doi: 10.3322/caac.21349
3. Clapp G., Levy D. A review of mathematical models for leukemia and lymphoma // Drug Discov. Today Dis. Models. 2015. Vol. 16. P. 1–6. doi: 10.1016/j.ddmod.2014.10.002
4. Chulián S., Martinez-Rubio A., Rosa M., Pérez-Garcia V.M. Mathematical models of leukaemia and its treatment: a review [e-resource]. 2020. 47 p. URL: https://arxiv.org/pdf/2011.05881.pdf
5. Kuznetsov M., Clairambault J., Volpert V. Improving cancer treatments via dynamical biophysical models // Physics of Life Reviews. 2021. Vol. 39. P. 1–48. doi: ff10.1016/j.plrev.2021.10.001ff
6. Malinzi J., Basita K.B., Padidar S., Adeola H.A. Prospect for application of mathematical models in combination cancer treatments // Informatics in Medicine Unlocked. 2021. Vol. 23. Art. no. 100534. P. 1–15. doi: 10.1016/j.imu.2021.100534
7. Хайлов Е.Н., Григоренко Н.Л., Григорьева Э.В., Клименкова А.Д. Управляемые системы Лотки — Вольтерры в моделировании медико-биологических процессов. М.: МАКС ПРЕСС, 2021. 204 c.
8. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М.: Физматлит, 2010. 400 с.
9. Малтугуева Н.С., Погодаев Н.И. О существовании решения задачи оптимального управления гибридной системой // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2017. Т. 19. С. 129–135.
10. Dmitruk A.V., Koganovich A.M. Maximum principle for optimal control problems with intermediate constraints // Computat. Math. Model. 2011. Vol. 22, no. 2. P. 180–215. doi: 10.1007/s10598-011-9096-8
11. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.
12. Bonnans F., Martinon P., Giorgi D., Grélard V., Maindrault S., Tissot O., Liu J. BOCOP 2.2.1 — user guide [e-resource]. August 8, 2019. URL http://bocop.org
Поступила 13.05.2022
После доработки 30.06.2022
Принята к публикации 4.07.2022
Хайлов Евгений Николаевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
фак. ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: khailov@cs.msu.su
Григорьева Эллина Валерьевна
канд. физ.-мат. наук, профессор
Техасский женский университет, США
e-mail: egrigorieva@mail.twu.edu
Клименкова Анна Дмитриевна
студент
фак. ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: klimenkovaad@mail.ru
Ссылка на статью: Е.Н. Хайлов, Э.В. Григорьева, А.Д. Клименкова. Оптимальные протоколы комбинированного лечения для управляемой модели ракового заболевания крови // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 222-240
English
E.N. Khailov, E.V. Grigorieva, A.D. Klimenkova. Optimal combination treatment protocols for a controlled model of blood cancer
A combined treatment of blood cancer is considered on a given time interval. The treatment consists of two stages. At the first stage, the patient undergoes therapy that has a powerful effect on the body in order to eliminate the disease. At the second stage, therapy is aimed at maintaining the achieved positive effect. The moment of transition from the first stage of treatment to the second is not fixed and depends on the patient’s condition. The implementation of such treatment is mathematically described by a two-dimensional Lotka–Volterra competition model whose variables are the concentrations of healthy and cancerous cells. The model contains two bounded control functions expressing the intensity of applied therapies. The quality of such combined treatment is assessed by minimizing an objective function that describes the dynamics of the concentrations of healthy and cancerous cells at the ends of the first and second stages of the total treatment period. For the theoretical analysis of this optimization problem, the Pontryagin maximum principle for hybrid control systems is applied. The results of numerical calculations performed in the BOCOP-2.2.1 environment are also presented and discussed in detail.
Keywords: blood cancer, two-dimensional Lotka–Volterra competition model, hybrid control system, optimal control, Pontryagin maximum principle
eceived May 13, 2022
Revised June 30, 2022
Accepted July 4, 2022
Evgenii Nikolaevich Khailov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119992, Russia, e-mail: khailov@cs.msu.su
Ellina Valer’evna Grigorieva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Department of Mathematics and Computer Sciences, Texas Woman’s University, TX 76204, USA, e-mail: egrigorieva@mail.twu.edu
Anna Dmitrievna Klimenkova, undergraduate student, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119992, Russia, e-mail: klimenkovaad@mail.ru
Cite this article as: E.N. Khailov, E.V. Grigorieva, A.D. Klimenkova. Optimal combination treatment protocols for a controlled model of blood cancer. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 222–240.
[References -> on the "English" button bottom right]
