В.И. Сумин. Вольтерровы функциональные уравнения в теории оптимизации распределенных систем. К проблеме сингулярности управляемых начально-краевых задач ... С. 188-201

УДК 517.95

MSC: 93C20, 93C23, 35B30, 47B38

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-188-201

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 20-01-00199_a).

Ранее автором была предложена довольно общая форма описания управляемых  начально-краевых задач (НКЗ) с помощью вольтерровых функциональных уравнений (ВФУ) вида
\[
z(t)=f\left(t,A[z](t),v(t)\right) ,\quad t\equiv \{t^{1},\ldots,t^{N}\} \in \Pi\subset{\mathbb R}^N ,\quad
z\in L_p^m \equiv \left(L_p\left( \Pi \right)\right)^m,
\]
где $f(.,.,.):\Pi \times {\mathbb R}^l\times {\mathbb R}^s\rightarrow {\mathbb R}^m;$ $v(.)\in {\cal D}\subset L_k^s$  – управление; $A:L_p^m\rightarrow L_q^l$ — линейный оператор, вольтерров на некоторой системе $\mathbf{T}$ подмножеств $\Pi $  в том смысле, что для любого $H\in \mathbf{T}$ сужение $\left. A\left[ z\right] \right| _H$ не зависит от значений $z| _{\Pi\backslash H};$ $p,q,k\in \left[ 1,+\infty \right] $. Это определение вольтерровости — многомерное обобщение известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра. К подобным уравнениям естественным образом (обращением главной части) приводятся разнообразные НКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.). Переход к эквивалентному ВФУ-описанию управляемых НКЗ адекватен многим проблемам распределенной оптимизации (получение условий сохранения глобальной разрешимости НКЗ при возмущении управлений; обоснование численных методов оптимального управления; вывод необходимых условий оптимальности (НУО); изучение "особых управлений" НУО и др.). В частности, автором была предложена опирающаяся на это описание схема получения конструктивных достаточных условий сохранения (при возмущении управления) глобальной разрешимости управляемых НКЗ. В статье демонстрируется эффективность ВФУ-описания НКЗ для теории оптимального управления на примере НКЗ для управляемого полулинейного параболического уравнения. Рассматриваются вопросы получения достаточных условий сохранения (при возмущении управления) глобальной разрешимости НКЗ и вывода НУО для сингулярных в смысле Ж.-Л. Лионса задач оптимального  управления. Показывается, что некоторые задачи оптимизации, которые относили к сингулярным, можно к таковым не относить, а при выводе для них НУО привести их к классической форме и действовать по схеме варьирования управлений.

Ключевые слова: Вольтерровы функциональные уравнения, управляемые начально-краевые задачи,  условия сохранения глобальной разрешимости, сингулярные системы оптимальности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

2.   Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

3.   Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

4.   Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 368 с.

5.    Сумин В.И. Об устойчивости существования глобального решения первой краевой задачи для управляемого параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 9. С. 1587–1595.

6.    Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. III // Вестн. ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. 2002. Вып. 1(25). с.  164–174.

7.    Сумин В.И. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, №1. С. 262–278. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-262-278 

8.    Сумин В.И. Вольтерровы функциональные уравнения в проблеме устойчивости существования глобальных решений распределенных управляемых систем // Вестн. российских университетов. Математика. 2020. Т. 25, № 132. С. 422–440. doi: 10.20310/2686-9667-2020-25-132-422-440 

9.    Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. МГУ. Сек. А. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1–25.

10.    Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

11.    Чернов А.В. О преодолении сингулярности распределенных систем управления // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. Третьей Всерос. научн. конф. Ч. 2. Самара: СамГТУ, 2006. С. 171–174.

12.   Barbu V. Necessary conditions for distributed control problems governed by parabolic variational inequalities // SIAM J. Control Optim. 1981. Vol. 19, no. 1. P. 64–68. doi: 10.1137/0319006 

13.   Fursikov A.V. Lagrange principle for problems of optimal control of ill posed or singular distributed systems // J. Math. Pures Appl. 1992. Vol. 71, no. 2. P. 139–195.

14.   Rota G.C., Strang G.C. A note on the joint spectral radius // Indag. Math. 1960. Vol. 22. P. 379–381. doi: 10.1016/S1385-7258(60)50046-1 

15.   Shulman V.S., Turovskii Y.V. Joint spectral radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtynski // J. Funct. Anal. 2000. Vol. 17, no. 2. P. 383–441. doi: 10.1006/jfan.2000.3640 

16.   Sumin V. Volterra functional-operator equations in the theory of optimal control of distributed systems // IFAC PapersOnLine. 2018. Vol. 51, no. 32. P. 759–764. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.454 

Поступила 15.06.2022

После доработки 15.07.2022

Принята к публикации 18.07.2022

Сумин Владимир Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
г. Нижний Новгород
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: v_sumin@mail.ru

Ссылка на статью: В.И. Сумин. Вольтерровы функциональные уравнения в теории оптимизации распределенных систем. К проблеме сингулярности управляемых начально-краевых задач // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 188-201

English

V.I. Sumin. Volterra functional equations in the theory of optimization of distributed systems. On the problem of singularity of controlled initial–boundary value problems

Earlier the author proposed a rather general form of describing controlled initialboundary value problems (IBVPs) by means of Volterra functional equations (VFEs)

\[ z(t)=f\left(t,A[z](t),v(t)\right) ,\quad t\equiv \{t^{1},\ldots,t^{N}\} \in \Pi\subset{\mathbb R}^N ,\quad z\in L_p^m \equiv \left(L_p\left( \Pi \right)\right)^m, \]
where $ f (.,.,.): \Pi \times {\mathbb R}^l \times {\mathbb R}^s \rightarrow {\mathbb R}^m$, $ v(.) \in {\cal D} \subset L_k^s $ is a control function, and $ A:L_p^m\left( \Pi \right) \rightarrow L_q^l\left( \Pi \right) $ is a linear operator that is Volterra for some system $\mathbf{T}$ of subsets of $\Pi$ in the following sense: for any $H \in \mathbf{T}$, the restriction $\left. A \left[z \right] \right |_H $ does not depend on the values of $z|_{\Pi \backslash H}$,  $p,q,k\in \left[ 1,+\infty \right]$ (this definition of a Volterra operator is a direct multidimensional generalization of the well-known Tikhonov definition of a functional Volterra type operator). Various IBVPs (for nonlinear hyperbolic and parabolic equations, integro-differential equations, equations with delay, etc.) are reduced by the method of inversion of the main part to such functional equations. The transition to an equivalent VFE-description of IBVPs is adequate to many problems of distributed optimization (obtaining conditions for maintaining the global solvability of equations under perturbed controls, substantiation of numerical methods of optimal control, derivation of necessary optimality conditions, study of singular controls for necessary optimality conditions, etc.). In particular, the author proposed (using such a description) a scheme for obtaining sufficient stability conditions (under perturbations of control) for the existence of global solutions for IBVPs. In the present paper, the effectiveness (for the theory of optimal control) of such a description of IBVPs is demonstrated by an example of a controlled semilinear parabolic equation. The problems of obtaining sufficient conditions for the preservation (under perturbation of control) of the global solvability of IBVPs and the derivation of necessary optimality conditions for singular in the sense of J.-L. Lions optimal control problems are considered. It is shown that some optimization problems that were classified as singular can in fact be classified as nonsingular, since the necessary optimality conditions for them may be derived by bringing the problems to the classical form and varying the controls.

Keywords: Volterra functional equations, controlled initial-boundary value problems, conditions for maintaining global solvability, singular optimality systems

Received June 15, 2022

Revised July 15, 2022

Accepted July 18, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00199_a).

Vladimir Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod, 603950 Russia; Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: v_sumin@mail.ru

Cite this article as: V.I. Sumin. Volterra functional equations in the theory of optimization of distributed systems. On the problem of singularity of controlled initial–boundary value problems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 188–201.

[References -> on the "English" button bottom right]