УДК 517.926
MSC: 34A30, 34D20, 93D09
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-94-113
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках государственного задания № 075-01265-22-00, проект FEWS-2020-0010.
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S298–S317. (Abstract)
В статье обсуждаются вопросы устойчивости линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Показано, что, в отличие от уравнений с постоянными коэффициентами, условие гурвицевости характеристического многочлена для линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами не является ни необходимым, ни достаточным условием асимптотической устойчивости дифференциального уравнения. Доказано, что аналог теоремы Харитонова о робастной устойчивости не имеет места, если коэффициенты дифференциального уравнения не являются постоянными.
Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения, устойчивость, нестационарная система, устойчивый многочлен, теорема Харитонова, робастная устойчивость
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Едиториал УРСС, 2004. 176 с.
2. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. 576 с.
3. Coppel W.A. Dichotomies in stability theory. Berlin; Heidelberg: Springer, 1978. 97 p. doi: 10.1007/BFb0067780
4. Wu M. A note on stability of linear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. Vol. 19, no. 2. P. 162. doi: 10.1109/TAC.1974.1100529
5. Ilchmann A., Owens D.H., Prätzel-Wolters D. Sufficient conditions for stability of linear time-varying systems // Systems and Control Letters. 1987. Vol. 9, no. 2. P. 157–163. doi: 10.1016/0167-6911(87)90022-3
6. Amato F., Celentano G., Garofalo F. New sufficient conditions for the stability of slowly varying linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1993. Vol. 38, no. 9. P. 1409–1411. doi: 10.1109/9.237657
7. Solo V. On the stability of slowly time-varying linear systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems. 1994. Vol. 7, no. 4. P. 331–350. doi: 10.1007/bf01211523
8. Левин А.Ю. Абсолютная неосцилляционная устойчивость и смежные вопросы // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, вып. 1. С. 154–166.
9. Wan J.-M. Explicit solution and stability of linear time-varying differential state space systems // Internat. J. Control Automat. Syst. 2017. Vol. 15, no. 4. P. 1553–1560. doi: 10.1007/s12555-015-0404-5
10. Vrabel R. A note on uniform exponential stability of linear periodic time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2020. Vol. 65, no. 4. P. 1647–1651. doi: 10.1109/tac.2019.2927949
11. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.
12. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 11. С. 2086–2088.
13. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L.H. Robust contol. The parametric approach. Upper Saddle, NJ: Prentice Hall PTR, 1995. 648 p.
14. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. СПб.: Лань, 2008. 480 с.
15. Sastry Sh. Nonlinear systems. Analysis, stability, and control. NY: Berlin: Heidelberg: Springer, 1999. 667 p.
16. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.
17. Zaitsev V., Kim I. Exponential stabilization of linear time-varying differential equations with uncertain coefficients by linear stationary feedback // Mathematics. 2020. Vol. 8, no. 5. Art. no. 853. doi: 10.3390/math8050853
Поступила 30.05.2022
После доработки 21.06.2022
Принята к публикации 4.07.2022
Зайцев Василий Александрович
д-р физ.-мат. наук, доцент
зав. лабораторией
Удмуртский государственный университет
г. Ижевск
e-mail: verba@udm.ru
Ким Инна Геральдовна
научный сотрудник
Удмуртский государственный университет
г. Ижевск
e-mail: kimingeral@gmail.com
Ссылка на статью: В.А. Зайцев, И.Г. Ким. Об устойчивости линейных нестационарных дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 94-113
English
V.A. Zaitsev, I.G. Kim. On the stability of linear time-varying differential equations
The article discusses the stability of linear differential equations with time-varying coefficients. It is shown that, in contrast to equations with time-invariant coefficients, the condition for the characteristic polynomial to be Hurwitz for a linear differential equation with time-varying coefficients is neither necessary nor sufficient for the asymptotic stability of the differential equation. It is proved that the analog of Kharitonov’s theorem on robust stability does not hold if the coefficients of the differential equation are time-varying.
Keywords: linear differential equations, stability, time-varying system, stable polynomial, Kharitonov’s theorem, robust stability
Received May 30, 2022
Revised June 21, 2022
Accepted July 4, 2022
Funding Agency: This was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within project FEWS-2020-0010 (state contract no. 075-01265-22-00).
Vasilii Aleksandrovich Zaitsev, Dr. Phys.-Math. Sci., Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: verba@udm.ru
Inna Geral’dovna Kim, Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: kimingeral@gmail.com
Cite this article as: V.A. Zaitsev, I.G. Kim. On the stability of linear time-varying differential equations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 94–113; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S298–S317.
[References -> on the "English" button bottom right]
