В.А. Дыхта. О множестве необходимых условий оптимальности с позиционными управлениями, порожденном слабо убывающими решениями неравенства Гамильтона — Якоби ... С. 83-93

УДК 977.5

MSC: 49K15, 49L99, 49N35

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-83-93

Любое слабо убывающее решение неравенства Гамильтона — Якоби допускает постановку так называемой присоединенной задачи динамической оптимизации на множестве конструктивных движений Красовского — Субботина, соответствующих позиционным экстремальным стратегиям. Получены условия, при которых оптимальная траектория рассматриваемой задачи терминального управления является минималью присоединенной задачи для фиксированной мажоранты — некоторого решения указанного неравенства Гамильтона — Якоби. Результат формулируется в терминах совместимости этого решения с оптимальной траекторией. В общем случае негладкой мажоранты (и негладкой задачи) условие совместимости означает, что проксимальный субдифференциал мажоранты, вычисленный вдоль оптимальной траектории, имеет компоненту, совпадающую с некоторым решением сопряженного включения из принципа максимума Кашкоч — Лоясиевича. В этом состоит общий позиционный принцип минимума — необходимое условие глобальной оптимальности, усиливающее известные принципы максимума для задач без терминальных ограничений.

Ключевые слова: экстремали, позиционные управления, слабо убывающие функции, позиционный принцип минимума

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Qualitative properties of trajectories of control systems: A survey // J. Dyn. Control Syst. 1995. Vol. 1, no. 1. P. 1–48. doi: 10.1007/BF02254655 

2.   Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth analysis and control theory. N.Y.: Springer-Verlag, 1998. 276 p.

3.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Физматлит, 1974. 456 с.

4.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исследований, 2003. 336 с.

5.   Clarke F., Ledyaev Yu.S., Subbotin A.I. Universal positional control and proximal aiming in control problems under perturbations and in differential games // Proc. Steklov Inst. Math. 1999. Vol. 224, no. 1. P. 149–168.

6.   Дыхта В.А. Слабо монотонные решения неравенства Гамильтона — Якоби и условия оптимальности с позиционными управлениями // Автоматика и телемеханика. 2014. № 5. С. 31–49.

7.   Дыхта В.А. Нестандартная двойственность и нелокальные необходимые условия оптимальности в невыпуклых задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2014. № 11. С. 19–37.

8.    Дыхта В.А. Вариационные необходимые условия оптимальности с позиционными управлениями спуска в задачах оптимального управления // Докл. АН. 2015. Т. 462, № 6. С. 653–656.

9.   Dykhta V.A. Approximate feedback minimum principle for suboptimal processes in non-smooth optimal control problems // Proc. Int. Conf. “Stability, Control and Differential Games” (SCDG2019). Cham: Springer, 2020. P. 127–132. doi: 10.1007/978-3-030-42831-0_12 

10.   Kaśkosz B., Lojasiewicz S. A maximum principle for generalized control // Nonlinear Analysis: Theory, Methods Appl. 1985. Vol. 9, no. 2. P. 109–130. doi: 10.1016/0362-546X(85)90067-7 

11.   Kaśkosz B. Extremality, controllability, and abundant subsets of generalized control systems // J. Optim. Theory Appl. 1999. Vol. 101, no. 1. P. 73–108. doi: 10.1023/A:1021719027140 

12.   Frankowska H., Kaśkosz B. Linearization and boundary trajectories of nonsmooth control systems // Can. J. Math. 1988. Vol. XI, no. 3. P. 589–609. doi: 10.4153/CJM-1988-025-7 

13.   Sussmann H. A strong version of the Lojasiewicz maximum principle // Optimal Control of Differential Equations / ed. N.H. Pavel. N.Y.: M. Dekker Ink., 1994. P. 1–17 (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics).

14.   Loewen P.D., Vinter R.B. Pontryagin-type necessary conditions for differential inclusion problems // Systems & Control Lett. 1997. Vol. 9, no. 9. P. 263–265. doi: 10.1016/0167-6911(87)90049-1 

15.   Artstein Z. Pontryagin maximum principle revisited with feedbacks // Eur. J. Control. 2011. Vol. 17, no. 1. P. 46–54.

16.   Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Неравенства Гамильтона — Якоби и вариационные условия оптимальности. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2015. 150 с.

17.   Дыхта В.А. Позиционные усиления принципа максимума и достаточные условия оптимальности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 2. С. 73–86.

18.   Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

19.   Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston: Birkhäuser, 1990. 461 p.

20.   Bardi M., Cappuzzo-Dolcetta I. Optimal control and viscosity solutions of Hamilton — Jakobi — Bellman equations. Boston: Birkhäuser, 1997. 570 р.

Поступила 14.06.2022

После доработки 30.06.2022

Принята к публикации 4.07.2022

Дыхта Владимир Александрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: dykhta@gmail.com

Ссылка на статью: В.А. Дыхта. О множестве необходимых условий оптимальности с позиционными управлениями, порожденном слабо убывающими решениями неравенства Гамильтона — Якоби // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 83-93

English

V.A. Dykhta. On the set of necessary optimality conditions with positional controls generated by weakly decreasing solutions of the Hamilton–Jacobi inequality

Any weakly decreasing solution of the Hamilton–Jacobi inequality generates a so-called accessory problem of dynamic optimization over Krasovskii–Subbotin constructive motions (Euler curves) produced by extremal feedback control strategies. We derive conditions under which an optimal trajectory of the considered Mayer optimal control problem is a minimizer of the accessory problem for a fixed majorant — a certain solution of the Hamilton–Jacobi inequality. The result is formulated in terms of the compatibility of the latter solution with an optimal trajectory. In the general case of a nonsmooth majorant (and a nonsmooth problem), the optimality condition means that there is a component of the proximal subdifferential of the majorant along the optimal trajectory that coincides with a certain solution of an adjoint inclusion arising in the maximum principle of Kaskosz and Łojasiewicz. This implies the general feedback minimum principle — a global necessary optimality condition, which strengthens all known formulations of the maximum principle for problems without terminal constraints.

Keywords: extremals, feedback controls, weakly decreasing functions, feedback minimum principle

Received June 14, 2022

Revised June 30, 2022

Accepted July 4, 2022

Vladimir Aleksandrovich Dykhta, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: dykhta@gmail.com

Cite this article as: V.A. Dykhta. On the set of necessary optimality conditions with positional controls generated by weakly decreasing solutions of the Hamilton–Jacobi inequality. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 83–93.

[References -> on the "English" button bottom right]