Online First 2025
УДК 517.988.68
MSC: 65J22, 68U10
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-3-fon-03
(Full Text)
Рассматривается некорректно поставленная задача определения положения (локализации) линий разрыва функции двух переменных по зашумленным данным. Предполагается, что вне линий разрыва функция гладкая, а на линиях имеет разрыв первого рода. В каждом узле равномерной сетки с шагом $\tau$ известны средние значения на квадрате со стороной $\tau$ от возмущенной функции. Возмущенная функция приближает точную в пространстве $L_2(\mathbb{R}^2).$ Уровень возмущения $\delta$ считается известным. Для локализации линий разрыва конструируются и исследуются методы на основе сепарации исходных зашумленных данных. Удается показать, что методы сепарации обеспечивают гарантированную оценку точности локализации на более широком классе корректности по сравнению с методами усреднения из предшествующих работ авторов, т. е. при существенно более слабых условиях на линию разрыва. Для простоты изложения предполагается, что линии разрыва являются ломаными. Ослаблены условия на размер звеньев и углов. Получены оценки точности аппроксимации и других важных характеристик построенных методов. Приведены примеры, которые показывают, что для негладких границ методы сепарации гарантируют лучшую точность аппроксимации, чем методы усреднения. Алгоритм данной работы может быть использован при построении методов на основе сепарации для аппроксимации фрактальных линий разрыва.
Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, линия разрыва, сепарация данных, глобальная локализация, условие Липшица.
Поступила 17.03.2025
После доработки 3.05.2025
Принята к публикации 12.05.2025
Опубликована онлайн 19.06.2025
Агеев Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ageev@imm.uran.ru
Антонова Татьяна Владимировна
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Исследование методов на основе сепарации для локализации линий разрыва // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-3-fon-03
A. L. Ageev, T. V. Antonova. Study of separation-based methods for localization of discontinuity lines.
The ill-posed problem of determining the position (localization) of discontinuity lines of a function of two variables from noisy data is considered. The function is assumed to be smooth outside the discontinuity lines and to have a discontinuity of the first kind on these lines. At each node of a uniform grid with step $\tau$, the mean values of the perturbed function on a square with side $\tau$ are known. The perturbed function approximates the exact function in space $L_2(\mathbb{R}^2).$ It is assumed that the level of perturbation $\sigma$ is known. The discontinuity lines are localized using methods based on the separation of the original noisy data that has been constructed and investigated. This paper shows that, compared to the averaging methods in the authors’ previous works, separation methods provide a guaranteed estimate of the localization accuracy over a wider class of correctness, i.e., under substantially weaker conditions on the discontinuity line. For the sake of simplicity, it is assumed that the discontinuity lines are polygonal. The requirements for grid step size and angles have been relaxed. Estimates of the approximation accuracy and other important characteristics of the constructed method are obtained. As demonstrated by the provided examples, in the case of nonsmooth boundaries, separation-based methods guarantee better approximation accuracy than averaging methods. The algorithm in this paper can be used in the construction of separation-based methods for approximating fractal discontinuity lines.
Keywords: ill-posed problems, regularization method, discontinuity line, data separation, global localization, Lipschitz condition.
Received March 17, 2025
Revised May 3, 2025
Accepted May 12, 2025
Published online June 19, 2025
Alexander Leonidivich Ageev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,
e-mail: ageev@imm.uran.ru.
Tatiana Vladimirovna Antonova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru.
Cite this article as: A.L. Ageev, T.V. Antonova. Study of separation-based methods for localization of discontinuity lines. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-3-fon-03
