УДК 517.518+517.983
MSC: 47B38, 54C35, 47A58, 26D10
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-3-fon-01
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 25-21-00118,
https://rscf.ru/project/25-21-00118/ .
Проиндексирована: WOS:001625866700004, AMS: MR4972366, Scopus
Переведена: Arestov, V.V. Best Approximation of a Fractional-Order Differentiation Operator in the Uniform Norm on the Axis on the Class of Functions with Summable Fourier Transform of the Highest Derivative. Proc. Steklov Inst. Math. 331 (Suppl 1), S14–S29 (2025). https://doi.org/10.1134/S0081543825601649
Полная версия статьи (Full text)
Дано решение задачи Стечкина о наилучшем приближении в равномерной норме на числовой оси операторов дифференцирования дробного (а точнее, вещественного) порядка $k$ линейными ограниченными операторами из пространства $L^2$ в пространство $C$ на классе функций $\mathcal{Q}^n$, преобразование Фурье дробной производной порядка $n$, $0\le k<n,$ которых суммируемо. Приведено соответствующее точное неравенство Колмогорова. Получено решение задачи об оптимальном восстановлении оператора дифференцирования дробного порядка $k$ на функциях класса $\mathcal{Q}^n$, заданных с известной погрешностью в пространстве $L^2.$
Ключевые слова: оператор дробного дифференцирования, задача Стечкина, неравенство Колмогорова, оптимальное дифференцирование.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. C. 137–148.
2. Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв. вузов. Математика. 1995. № 11. С. 42–68.
3. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 6(312). С. 89–124. https://doi.org/10.4213/rm1019
4. Arestov V.V., Filatova M.A. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187. P. 65–81. https://doi.org/10.1016/j.jat.2014.08.001
5. Арестов В.В., Акопян Р.Р. Задача Стечкина о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными и родственные ей задачи // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 7–31. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-4-7-31
6. Babenko V., Kovalenko O., Parfinovych N. On approximation of hypersingular integral operators by bounded ones // J. Math. Anal. Appl. 2022. Vol. 513. P. 1–21. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126215
7. Arestov V.V. Approximation of differentiation operators by bounded linear operators in Lebesgue spaces on the axis and related problems in the spaces of (p,q)-multipliers and their predual spaces // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no. 2. P. 4–27. https://doi.org/10.15826/umj.2023.2.001
8. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наук. думка, 2003. 591 c.
9. Тихомиров В.М., Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства для производных // Избранные тр. Математика и механика А. Н. Колмогоров. М.: Наука, 1985. С. 387–390.
10. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 231–244.
11. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
12. Осипенко К.Ю. Введение в теорию оптимального восстановления: учебное пособие для вузов. СПб.: Лань, 2022. 388 c.
13. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.
14. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965. 328 с.
15. Габушин В.Н. Неравенства для норм функции и ее производных в метриках $L_p$ // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 3. С. 291–298.
16. Szőkefalvi-Nagy B. Über Integralunglechungen zwischen einer Funktion und ihrer ableitung // Acta Sci. Math. 1941. Vol. 10. P. 64–74.
17. Габушин В.Н. Точные константы в неравенствах между нормами производных функции // Мат. заметки. 1968. Т. 4, № 2. С. 221–232.
Поступила 13.03.2025
После доработки 3.04.2025
Принята к публикации 7.04.2025
Опубликована онлайн 30.05.2025
Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru
Ссылка на статью: В.В. Арестов. Наилучшее приближение оператора дифференцирования дробного порядка в равномерной норме на оси на классе функций с суммируемым преобразованием Фурье старшей производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 47–63.
English
V.V. Arestov. Best approximation of a fractional-order differentiation operator in the uniform norm on the axis on the class of functions with integrable Fourier transform of the highest derivative
A solution is given to Stechkin's problem on the best approximation in the uniform norm on the real axis of differentiation operators of fractional (more precisely, real) order $k$ by bounded linear operators from the space $L^2$ to the space $C$ on the class of functions $\mathcal{Q}^n$ whose Fourier transform of the $n$th-order fractional derivative, $0\le k<n,$ is integrable. The corresponding exact Kolmogorov inequality is given. A solution is obtained to the problem of optimal recovery of the differentiation operator offractional order $k$ on functions of the class $\mathcal{Q}^n$ defined with a known error in the space $L^2.$
Keywords: fractional-order differentiation operator, Stechkin's problem, Kolmogorov inequality, optimal differеntiation.
Received March 13, 2025
Revised April 3, 2025
Accepted April 7, 2025
Published online May 30, 2025
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project 25-21-00118, https://rscf.ru/project/25-21-00118/ .
Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru
Cite this article as: V.V. Arestov. Best approximation of a fractional-order differentiation operator in the uniform norm on the axis on the class of functions with integrable Fourier transform of the highest derivative. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 47–63; Proc. Steklov Inst. Math. 331 (Suppl~1), S14–S29 (2025). https://doi.org/10.1134/S0081543825601649
[References -> on the "English" button bottom right]
