УДК 517.977
MSC: 93B03, 49K15
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-81-93
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2025-1549).
В работе рассматриваются множества достижимости в заданный момент времени линейных управляемых систем с интегральными ограничениями на управление в виде шара в пространстве $L_p$ при $p>1$. Множества достижимости являются выпуклыми компактами в конечномерном евклидовом пространстве $\mathbb R^n$. Для $p=2$, как известно, множество достижимости при выполнении условий управляемости является эллипсоидом в $\mathbb R^n$, граница которого — компактное гладкое многообразие, диффеоморфное сфере. В работе получены достаточные условия, при выполнении которых граница множества достижимости оказывается гладким многообразием размерности $n-1$ для всех $1<p\leq 2$.
Ключевые слова: управляемая система, интегральные ограничения, множество достижимости, гладкость границы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kalman R.E., Ho Y.C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems// Contr. Diff. Equ. 1963. Vol. 1, № 2. P. 189–213.
2. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 c.
3. Kurzhanski A.B., Vályi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhäuser, 1997. 321 p.
4. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes: theory and computation. Basel: Birkhäuser, 2014. 445 p. (Systems & Control: Foundations & Applications, Book 85). https://doi.org/ 10.1007/978-3-319-10277-1
5. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.
6. Polyak B.T. Сonvexity of the reachable set of nonlinear systems under $L_2$ bounded controls // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series A: Mathematical Analysis 11. 2004. С. 255–267.
7. Patsko V.S., Trubnikov G.I., Fedotov A.A. Reachable Set of the Dubins Car with an Integral Constraint on Control // Dokl. Math. 2023. Vol. 108, Suppl. 1. P. S34–S41. https://doi.org/10.1134/S106456242360080X
8. Rousse Р., Garoche P.L., Henrion D. Parabolic set simulation for reachability analysis of linear time invariant systems with integral quadratic constraint// Europen J. Control. 2021. Vol. 58. P. 152—167. https://doi.org/ 10.1016/j.ejcon.2020.08.002
9. Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Differ. Equ. Appl. 2007. Vol. 14, no. 1-2. P. 57–73. https://doi.org/ 10.1007/s00030-006-4036-6
10. Huseyin A., Huseyin N., Guseinov K.G. Continuity of $L_p$ balls and an application to input-output systems // Math. Notes, 2022. Vol. 111, no. 1. P. 58–70. https://doi.org/ 10.1134/S0001434622010072
11. Huseyin N., Huseyin A., Guseinov K.G. On the properties of the set of trajectories of nonlinear control systems with integral constraints on the control functions // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. Vol. 28, no. 3. P. 274–284. https://doi.org/ 10.21538/0134-4889-2022-28-3-274-284
12. Ибрагимов Д.Н., Подгорная В.М. Формирование оптимального по быстродействию ограниченного управления для линейных дискретных систем на основе метода суперэллипсоидальной аппроксимации // Автоматика и телемеханика. 2023. № 9. С. 37–67.
https://doi.org/10.25728/arcRAS.2023.98.83.001
13. Гусев М.И. О некоторых свойствах множеств достижимости нелинейных систем с ограничениями на управление в $L_p$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. C. 99–112. https://doi.org/ 10.21538/0134-4889-2024-30-3-99-112
14. Gusev Mikhail I. Computing the reachable set boundary for an abstract control system: revisited // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no. 2. P. 99–108. https://doi.org/ https://doi.org/10.15826/umj.2023.2.008
15. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1980. 335 с.
16. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс М.: Мир, 1972. 279 с.
17. Водопьянов С. К. Интегрирование по Лебегу. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2014. 160 с.
Поступила 4.03.2025
После доработки 27.03.2025
Принята к публикации 1.04.2025
Гусев Михаил Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: gmi@imm.uran.ru
Ссылка на статью: М.И. Гусев. О гладкости границы множества достижимости при интегральных ограничениях на управление // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. C. 81-93
English
M.I. Gusev. On smoothness of the boundary of a reachable set under integral control constraints
The paper considers reachable sets at a given time of linear control systems with integral constraints on control in the form of a ball in the space $L_p$ for $p>1$. The reachable sets are convex compact sets in the finite-dimensional Euclidean space $\mathbb R^n$. For $p=2$, it is known that the reachable set, under the controllability condition, is an ellipsoid in $\mathbb R^n$ whose boundary is a compact smooth manifold diffeomorphic to a sphere. In this paper we obtain sufficient conditions under which the boundary of the attainability set turns out to be a smooth manifold of dimension $n-1$ for all $1<p\leq 2$.
Keywords: control system, integral constraints, reachable set, nonlinear mapping, maximum principle
Received March 04, 2025
Revised March 27, 2025
Accepted April 1, 2025
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2025-1549).
Mikhail Ivanovich Gusev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: gmi@imm.uran.ru
Cite this article as: M.I. Gusev. On smoothness of the boundary of a reachable sets under integral control constraints. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol 31, no. 2, pp. 81–93.
