УДК 517.977
MSC: 35C20, 49J20, 49N05
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-94-107
Рассматривается задача оптимального управления значением решения уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей посредством потока через границу области. Оператор уравнения есть сумма оператора Лапласа с малым коэффициентом и оператора нулевого порядка. Управление стеснено интегральным соотношением. Функционал качества есть сумма квадратов норм отклонения состояния от заданного состояния на границе области и управления. Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения задачи.
Ключевые слова: сингулярные задачи, оптимальное управление, краевые задачи для систем уравнений в частных производных, асимптотические разложения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 c.
2. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 11. С. 27–60.
3. Данилин А.Р. Аппроксимация сингулярно возмущенной эллиптической задачи оптимального управления // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 3–12.
4. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах // Докл. АН Украины. Сер. Математика, естествознание, технические науки. 1992. № 2. С. 70–74.
5. Капустян В.Е. Оптимальные бисингулярные эллиптические задачи с ограниченным управлением // Докл. АН Украины. 1993. № 6. С. 81–85.
6. Данилин А.Р., Зорин А.П. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 4. С. 95–107.
7. Lou H., Yong J. Second-order necessary conditions for optimal control of semilinear elliptic equations with leading term containing controls // Math. Control Relat. Fields. 2018. Vol. 8, no. 1. P. 57–88. https://doi.org/10.3934/mcrf.2018003
8. Betz Livia M. Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 2019. Vol. 57, no. 6. P. 4033–4062. https://doi.org/10.1137/19M1239106
9. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация задач оптимального управления для полулинейных эллиптических уравнений конвекции-диффузии с граничным наблюдением конормальной производной, с управлениями в коэффициентах оператора конвективного переноса и нелинейном члене уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2024. Т. 64, № 7. С. 1163–1182. https://doi.org/10.31857/S0044466924070055
10. Данилин А.Р. Оптимальное граничное управление в области с малой полостью // Уфим. мат. журн. 2012. Т. 4, № 2. С. 87–100.
11. Данилин А.Р. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления потоком через часть границы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 4. С. 116–127.
12. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
13. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регуляроное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. С. 3–122.
14. Ильин А.М. Пограничный слой // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 34. М.: ВНИТИ, 1988. С. 175–214. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.)
Поступила 21.11.2024
После доработки 22.01.2025
Принята к публикации 27.01.2025
Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru
Першин Игорь Викторович
математик первой категории
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: piv@imm.uran.ru
Ссылка на статью; А.Р. Данилин, И.В. Першин. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с функционалом качества, определенным на границе // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Т. 31, № 2.. C. 94–107
English
A.R. Danilin, I.V. Pershin. Asymptotics of a solution to an optimal boundary control problem with performance index defined on the boundary
In this paper, we study a optimal control problem of the value of the solution to an elliptic equation in a bounded domain with a smooth boundary by means of a flow through the domain boundary. We consider the operator of the equation, which is the sum of the Laplace operator with a small coefficient and a zero-order operator. The control is constrained by an integral relation. As a performance index, we employ the sum of the squared norm of the deviation of a state from a prescribed state on the domain boundary and the squared norm of the control. We obtain a complete asymptotic expansion of the solution to the problem in powers of the small parameter.
Keywords: singular problems, optimal control, boundary value problems for systems of partial differential equations, asymptotic expansions
Received November 21, 2024
Revised January 22, 2025
Accepted January 27, 2025
Aleksey Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru
Igor’ Viktorovich Pershin, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: piv@imm.uran.ru
Cite this article as: A.R. Danilin,I.V. Pershin. Asymptotics of a solution to an optimal boundary control problem with performance index defined on a boundary. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 94–107.
