В.И. Иванов. Одномерное $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье ... С. 92-108

УДК 517.98

MSC: 42B10, 33C45, 33C52

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-92-108

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ, соглашение № 073-03-2023-303/2 от 14.02.23 г., тема научного исследования “Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике”.

Полный текст статьи (Full text)

В работе изучается двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье $\mathcal{F}_{k,a}$, $k,a>0$, на прямой. При $a\neq 2$ оно обладает деформационными свойствами и, в частности, для функции $f$ из пространства Шварца $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ $\mathcal{F}_{k,a}(f)$ может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. Доказано, что инвариантным множеством для обобщенного преобразования Фурье $\mathcal{F}_{k,a}$ и дифференциально-разностного оператора $|x|^{2-a}\Delta_kf(x)$, где $\Delta_k$ — лапласиан Данкля, является класс
\[
\mathcal{S}_{a}(\mathbb{R})=\{f(x)=F_1(|x|^{a/2})+xF_2(|x|^{a/2})\colon  F_1,F_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}),\,\, F_1,F_2 - \text{четные}\}.
\]
Для $a=1/r$, $r\in\mathbb{N}$, рассмотрены два оператора обобщенного сдвига $\tau^{y}$ и $T^y=(\tau^{y}+\tau^{-y})/2$. Для них предложены простые интегральные представления, позволившие доказать их $L^{p}$-ограниченность при $1\le p\le\infty$ и $\lambda=r(2k-1)>-1/2$. При $\lambda\ge 0$ оператор $T^y$ положительный, и его $L^p$-норма равна 1. Определены две свертки, и для них доказана теорема Юнга. Для обобщенных средних, определенных с помощью сверток, установлено достаточное условие $L^{p}$-сходимости. Изучены обобщенные аналоги средних Гаусса — Вейерштрасса, Пуассона и Бохнера — Рисса.

Ключевые слова: $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье, оператор обобщенного сдвига, свертка, обобщенные средние

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. Vol. 43, no. 6. P. 1213–1227. doi: 10.4153/CJM-1991-069-8

2.   Rösler M. Dunkl operators. Theory and applications // Orthogonal Polynomials and Special Functions eds. Erik Koelink Walter van Assche. Berlin; Heidelberg: Springer, 2002. P. 93–135. (Lecture Notes in Math.; vol. 1817.) doi: 10.1007/3-540-44945-0_3

3.   Ben Saïd S., Kobayashi T., Ørsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265–1336. doi: 10.1112/S0010437X11007445

4.   Gorbachev D., Ivanov V., Tikhonov S. On the kernel of the (κ,a)-Generalized Fourier transform // Forum of Math., Sigma. 2023. Vol. 11, e72. https://doi.org/10.1017/fms.2023.69

5.   Kobayashi T., Mano G. The Schrödinger model for the minimal representation of the indefinite orthogonal group O(p;q) // Memoirs of the American Mathematical Societies. 2011. Vol. 213, no. 1000. 132 p. doi: 10.1090/S0065-9266-2011-00592-7

6.   Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Pitt’s inequalities and uncertainty principle for generalized Fourier transform // Int. Math. Res. Notices. 2016. Vol. 2016, no. 23. P. 7179–7200. doi: 10.1093/imrn/rnv398

7.   Boubatra M.A., Negzaoui S, Sifi M. A new product formula involving Bessel functions // Integral Transforms Spec. Funct. 2022. Vol. 33, no. 3. P. 247–263. doi: 10.1080/10652469.2021.1926454

8.   Mejjaoli H. Deformed Stockwell transform and applications on the reproducing kernel theory // Int. J. Reprod. Kernels. 2022. Vol. 1, iss. 1. P. 1–39.

9.   Mejjaoli H., Trimèche K. Localization operators and scalogram associated with the deformed Hankel wavelet transform // Mediterr. J. Math. 2023. Vol. 20, no. 3. Article no. 186. doi: 10.1007/s00009-023-02325-1

10.    Gorbachev D. V., Ivanov V. I. , Tikhonov S. Yu. Positive $L_p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2019. Vol. 49, no. 3. P. 555–605. doi: 10.1007/s00365-018-9435-5

11.   Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

12.   Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 2. М.: Наука, 1966. 297 с.

13.   Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. математическая. 2007. T. 71, № 5. C. 149–196.

14.   Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Том 1. М.: Наука, 1975. 656 с.

15.   Thangavelu S., Xu Y. Convolution operator and maximal function for Dunkl transform // J. d’Analyse. Math. 2005. Vol. 97. P. 25–55. doi: 10.1007/BF02807401

16.   Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. М.: Наука, 1970. 328 с.

Поступила 10.07.2023

После доработки 16.08.2023

Принята к публикации 21.08.2023

Иванов Валерий Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Тульский государственный университет;
ведущий науч. сотрудник
Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого
г. Тула
e-mail: ivaleryi@mail.ru

Ссылка на статью: В.И. Иванов. Одномерное $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29. № 4. С. 92-108

English

V.I. Ivanov. One-dimensional $(k,a)$-generalized Fourier transform

We study the two-parametric $(k,a)$-generalized Fourier transform $\mathcal{F}_{k,a}$, $k,a>0$, on the line. For $a\neq 2$ it has deformation properties and, in particular, for a function $f$ from the Schwartz space $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, $\mathcal{F}_{k,a}(f)$ may be not infinitely differentiable or rapidly decreasing at infinity. It is proved that the invariant set for the generalized Fourier transform $\mathcal{F}_{k,a}$ and differential-difference operator $|x|^{2-a}\Delta_kf(x)$, where $\Delta_k$ is the Dunkl Laplacian, is the class
\[ \mathcal{S}_{a}(\mathbb{R})=\{f(x)=F_1(|x|^{a/2})+xF_2(|x|^{a/2})\colon F_1,F_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}),\,\, F_1,F_2 - \text{are even}\}. \]
For $a=1/r$, $r\in\mathbb{N}$, we consider two generalized translation operators $\tau^{y}$ and $T^y=(\tau^{y}+\tau^ {-y})/2$. Simple integral representations are proposed for them, which make it possible to prove their $L^{p}$-boundedness as $1\le p\le\infty$ for $\lambda=r(2k-1)>-1/2$. For $\lambda\ge 0$ the generalized translation operator $T^y$ is positive and its norm is equal to one. Two convolutions are defined and Young's theorem is proved for them. For generalized means defined using convolutions, a sufficient $L^{p}$-convergence condition is established. The generalized analogues of the Gauss—Weierstrass, Poisson, and Bochner—Riesz means are studied.

Keywords: $(k,a)$-generalized Fourier transform, generalized translation operator, convolution, generalized means

Received July 10, 2023

Revised August 16, 2023

Accepted August 21, 2023

Funding Agency: This work was carried out within the framework of the state assignment of the Ministry of Education of the Russian Federation, agreement no. 073-03-2023-303/2 dated 02.14.23, the topic of scientific research is “Number-theoretic methods in approximate analysis and their applications in mechanics and physics”.

Valerii Ivanovich Ivanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, 300012 Russia, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tula, 300026 Russia, e-mail: ivaleryi@mail.ru

Cite this article as: V.I. Ivanov. One-dimensional (k,a)-generalized Fourier transform. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 92–108.

[References -> on the "English" button bottom right]