В.П. Заставный. Об экстремальных тригонометрических полиномах ... С. 70-91

УДК 517.518.86

MSC: 41A17

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-70-91

Исследование проводилось по теме государственного задания (шифр из системы ЕГИСУ НИОКТР: FRRE-2023-0015).

Полный текст статьи (Full text)

Пусть $\mathscr{F}_n$ — множество всех тригонометрических полиномов порядка $\le n$, $n\in\mathbb{N}$. Для мультипликаторов $H:\mathscr{F}_n\to\mathscr{F}_n$  доказана интерполяционная формула вида $H(f)(t)=\sum_{k=0}^{2n-1}\Lambda_k f\left(t-\tau+{k\pi}/{n}\right),$ с помощью которой  получены неравенства  и  критерии экстремального полинома в этих неравенствах (теорема 4):
$$
 \int_{\mathbb{T}}J\left(|H(f)(t)|\right)\,dt
   \le
   \int_{\mathbb{T}}J\left(\varkappa|f(t)|\right)\,dt\,;\;\;
\| H(f)\|_p\leqslant \varkappa\|f\|_p,\,1\le p\le\infty,\;\varkappa=|\Lambda_0|+\ldots+|\Lambda_{2n-1}|>0.
$$
 Здесь функция $J$ выпукла вниз и не убывает на  $[0,+\infty)$. Основная цель данной работы — это описание всех экстремальных полиномов в указанных неравенствах. В теореме 5 доказано, что  если функция $J$ выпукла вниз  и  строго возрастает на $[0,+\infty)$ и выполняются два условия: $1)$ $\exists s\in\mathbb{Z}:\,\overline{\Lambda_{s}} \Lambda_{s+1}<0$ и $2)$  $\exists \varepsilon\in\mathbb{C}$, $|\varepsilon|=1:$   $\varepsilon \Lambda_k (-1)^k\ge0$, $k\in\mathbb{Z}$, то в указанных неравенствах экстремальными являются только полиномы вида $f(t)=\mu e^{int}+\nu e^{-int}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$.  Главные случаи в этой теореме —  случаи $p=\infty$ и $p=1$. В теореме 6 доказано, что  если функция $J$ выпукла вниз  и  строго возрастает на $[0,+\infty)$ и  для оператора $H$ выполнено условие Сегё (неотрицательность специального тригонометрического полинома), то во всех случаях, кроме одного исключительного, в указанных неравенствах экстремальными являются только полиномы вида $f(t)=\mu e^{int}+\nu e^{-int}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. В исключительном случае есть и другие экстремальные полиномы. В работе приведены общие примеры операторов $H$, которые удовлетворяют условиям теоремы 6 (пример 1, теоремы 7 и 8). В частности, этим условиям удовлетворяет оператор С.Т. Завалищина (пример 2) и оператор дробной производной $H(f)(t)=f^{(r,\beta)}(t)$,  $\beta\in\mathbb{R}$, $r\ge1$, $\varkappa=n^r$ (следствие 3). В работе также описаны экстремальные полиномы в неравенствах Тригуба и Боаса (при некоторых значениях параметров экстремальными являются не только полиномы вида $\mu e^{int}+\nu e^{-int}$).

Ключевые слова: экстремальный тригонометрический полином, условие Бернштейна, условие Сегё, производная в смысле Вейля — Надя, неравенство Бернштейна — Сегё, положительно определенная функция, метод Боаса — Сайвина

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бернштейн С.Н. О наилучшемъ приближенiи непрерывныхъ функцiй посредствомъ многочленовъ данной степени. I // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1912. Т. 13, № 2–3. С. 49–144.

2.   Riesz M. Formule d’interpolation pour la dérivée d’un polynome trigonométrique // C. R. Acad. Sci. 1914. Vol. 158. P. 1152–1154.

3.   Riesz M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1914. Vol. 23. P. 354–368.

4.   Szegö G. Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein // Schriften der Künigsberger Gelehrten Gesellschaft. 1928. Jahr 5, Heft 4. P. 59–70.

5.   Zygmund A. Trigonometric series, vol. I, II. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1959, vol. II, 364 p. Translated under the title Trigonometricheskie ryady, Moscow, Mir Publ., 1965, vol. II, 538 c.

6.   Sz.-Nagy В. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen. I. Periodischer Fall // Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 1938. Vol. 90. P. 103–134.

7.   Соколов Г.Т. О некоторых экстремальных свойствах тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. VII серия: Отд. мат. и естест. наук. 1935. № 6–7. C. 857–884.

8.   Лизоркин П.И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1965. Т. 29, № 1. С. 109–126.

9.   Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. АН Украины. Ин-т математики. Киев: Наук. думка, 1992. 304 с.

10.   Kozko A.I. The exact constants in the Bernstein-Zygmund-Szegö inequalities with fractional derivatives and the Jackson-Nikolskii inequality for trigonometric polynomials // East J. Approx. 1998. Vol. 4, no. 3. P. 391–416.

11.   Арестов В.В., Глазырина П.Ю. Неравенство Бернштейна–Сегё для дробных производных тригонометрических полиномов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 17–31.

12.   Леонтьева А.О. Неравенство Бернштейна–Сегё для производной Рисса тригонометрических полиномов в пространствах $L_p$, $0\le p\le\infty$, с классическим значением точной константы // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 3. С. 135–152. doi: 10.4213/sm9822

13.   Арестов В.В. Точные неравенства для тригонометрических полиномов относительно интегральных функционалов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 38–53.

14.   Арестов В.В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1981. Т. 45, № 1. С. 3–22.

15.   Zastavnyi V.P. Positive definite functions and sharp inequalities for periodic functions // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P. 82–99. doi: 10.15826/umj.2017.2.011

16.   Стечкин С.Б. Обобщение некоторых неравенств С.Н. Бернштейна // Избранные труды: Математика. М.: Наука. Физматлит, 1998. С. 15–18.

17.   Бернштейн С.Н. Об одной теореме Сегё // Собрание сочинений. Т. II: Конструктивная теория функций: в 4 т. М.: Изд.-во АН СССР,1954. С. 173–177.

18.   Завалищин С.Т. О некоторых экстремальных свойствах тригонометрических полиномов // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 3–11.

19.   Стечкин С.Б., Тайков Л.В. О минимальных продолжениях линейных функционалов // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 12–23.

20.   Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке // Собрание сочинений: в 4 т. Т. II: Конструктивная теория функций. М.: Изд.-во АН СССР, 1954. С. 7–106.

21.   Горбачев Д.В. Точные неравенства Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 58–110. doi: 10.22405/2226-8383-2021-22-5-58-110

22.   Заставный В.П. Одно обобщение теоремы Шеппа о положительной определенности кусочно-линейной функции // Мат. заметки. 2020. Т. 107, № 6. С. 873–887. doi: 10.4213/mzm12412

23.    Заставный В.П., Манов А.Д. Положительная определенность комплексной кусочно-линейной функции и некоторые ее применения // Мат. заметки. 2018. Т. 103, № 4. С. 519–535.

24.   Boas R.P., Jr. The derivative of a trigonometric integral // J. London Math. Soc. 1937. Vol. 12. P. 164–165. doi: 10.1112/jlms/s1-12.2.164

25.   Civin P. Inequalities for trigonometric integrals // Duke Math. J. 1941. Vol. 8, № 4. P. 656–665.

26.   Boas R.P., Jr. Entire Functions. NY: Acad. Press, 1954. 275 p.

27.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 624 с.

28.   Виноградов О.Л. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 3. С. 538–555.

29.   Виноградов О.Л. Точные неравенства типа Бернштейна для мультипликаторов Фурье — Данкля // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 1. С. 3–30. doi: 10.4213/sm9724

30.   Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М.: Мир, 1976.

31.   Trigub R.M. Fourier multipliers and K-functionals in spaces of smooth functions // Ukr. Math. Bull. 2005. Vol 2, № 2. P. 239–284.

Поступила 28.06.2023

После доработки 9.08.2023

Принята к публикации 11.09.2023

Заставный Виктор Петрович
д-р физ.-мат. наук, доцент
Донецкий государственный университет
г. Донецк
e-mail: zastavn@rambler.ru

Ссылка на статью: В.П. Заставный. Об экстремальных тригонометрических полиномах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 70-91

English

V.P. Zastavnyi. On extremal trigonometric polynomials

Let $\mathscr{F}_n$ be the set of all trigonometric polynomials of order $\le n$, $n\in\mathbb{N}$. For multipliers $H:\mathscr{F}_n\to\mathscr{F}_n$, we prove an interpolation formula $H(f)(t)=\sum_{k=0}^{2n-1}\Lambda_k f\left(t-\tau+{k\pi}/{n}\right),$ which is used to obtain the following inequalities and criteria for an extremal polynomial in them (Theorem 4):
$$\int_{\mathbb{T}}J\left(|H(f)(t)|\right)\,dt \le \int_{\mathbb{T}}J\left(\varkappa|f(t)|\right)\,dt\,;\;\; \| H(f)\|_p\leqslant \varkappa\|f\|_p,\,1\le p\le\infty,\;\varkappa=|\Lambda_0|+\ldots+|\Lambda_{2n-1}|>0. $$ Here the function $J$ is convex and nondecreasing on $[0,+\infty)$. The main goal of this work is to describe all extremal polynomials in the above inequalities. Theorem 5 proves that  if the function $J$ is convex and strictly increasing on $[0,+\infty)$ and two conditions are satisfied: $(1)$ $\exists s\in\mathbb{Z}:\,\overline{\Lambda_{s}} \Lambda_{s+1}<0$ and $(2)$ $\exists \varepsilon\in\mathbb{C}$, $|\varepsilon|=1:$ $\varepsilon \Lambda_k (-1)^k\ge0$, $k\in\mathbb{Z}$, then only polynomials of the form $f(t)=\mu e^{int}+\nu e^{-int}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$ are extremal in these inequalities. The main cases in this theorem are the cases $p=\infty$ and $p=1$. Theorem 6 proves that if the function $J$ is convex and strictly increasing on $[0,+\infty)$ and the operator $H$ satisfies the Szegö condition (the nonnegativity of a special trigonometric polynomial), then, in all cases different from one exceptional case, only polynomials of the form $f(t)=\mu e^{int}+\nu e^{-int}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$, are extremal in these inequalities. In the exceptional case, there are other extremal polynomials. In this paper we give general examples of operators $H$ that satisfy the conditions of Theorem 6 (Example 1, Theorems 7 and 8). In particular, S.T. Zavalishchin's operator (Example 2) and the fractional derivative operator $H(f)(t)=f^{(r,\beta)}(t)$, $\beta\in\mathbb{R}$, $r\ge1$, $\varkappa=n^r$ (Corollary 3), satisfy these conditions. In this paper we also describe extremal polynomials in the Trigub and Boas inequalities (for some values of the parameters, not only polynomials of the form $\mu e^{int}+\nu e^{-int}$ are extremal).

Keywords: extremal trigonometric polynomial, Bernstein condition, Szegö condition, Weil-Nagy derivative, Bernstein-Szegö inequality, positive definite function, Boas-Civin method

Received June 28, 2023

Revised August 9, 2023

Accepted September 11, 2023

Funding Agency: The research was carried out under a state assignment (code FRRE-2023-0015 in the Unified State Information System for Recording Research, Development, and Technological Work for Civil Purposes).

Viktor Petrovych Zastavnyi, Dr. Phys.-Math. Sci., Donetsk State University, Donetsk, 283001 Russia, e-mail: zastavn@rambler.ru

Cite this article as: V.P. Zastavnyi. On extremal trigonometric polynomials. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 70–91.

[References -> on the "English" button bottom right]