В.В. Арестов, М.В. Дейкалова. Обобщенный сдвиг, порожденный sinc-функцией, на отрезке ... С. 27-48

УДК 517.518.86

MSC: 41A17

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-27-48

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2023-913).

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S32–S52. (Abstract)

Обсуждаются свойства оператора обобщенного сдвига, порожденного системой  функций $\mathfrak{S}=\{ {(\sin  k\pi x) }/{(k\pi x)}\}_{k=1}^\infty,$ в пространствах $L^q=L^q((0,1),{\upsilon}),$ $q\ge 1,$ на интервале $(0,1)$ с весом $\upsilon(x)=x^2$. Построено  интегральное представление этого оператора, и исследована его норма в пространствах $L^q,$ $1\le q\le\infty.$ Оператор сдвига применяется к исследованию  неравенства Никольского между равномерной и $L^q$-нормами  полиномов по системе $\mathfrak{S}.$

Ключевые слова: обобщенный сдвиг, sinc-функция, неравенство разных метрик

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

2.   Бейтмен Г., Эрдейи А.И. Высшие трансцидентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. 295 с.

3.   Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

4.   Левитан Б.М. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, вып. 2. С. 102–143.

5.   Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона — Стечкина в пространстве $L^2(\mathbb{R}^m)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 183–198.

6.   Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. Мат. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196.

7.   Liu Y. Best $L^2$-approximation of function on $[0,1]$ with the weight $x^{2\nu+1}$. Тр. междунар. летн. мат. шк. С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 180–190.

8.   Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Некоторые вопросы приближения функций суммами Фурье — Бесселя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, № 7. С. 1051–1057. doi: 10.7868/S0044466913070028

9.   Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horváth A. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, iss. 1. P. 21–42. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6

10.   Арестов В.В., Дейкалова М.В. Об одном обобщенном сдвиге и соответствующем неравенстве разных метрик // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 40–53. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-40-53

11.   Arestov V., Deikalova M. On one inequality of different metrics for trigonometric polynomials // Ural Math. J. 2022. Vol. 8, no. 2. P. 25–43. doi: 10.15826/umj.2022.2.003

12.   Левитан Б.М. Применение операторов обобщенного сдвига к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4. Вып. 1. С. 1–107.

13.   Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя их приложения к физике и механике. М.: ИЛ, 1953. 372 c.

14.   Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС, 2004. 896 с.

15.   Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной: учебн. пособие. СПб.: Лань, 1999.

16.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.

17.   Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. 1933. Vol. 39, no. 12. P. 889–906.

18.   Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН СССР. 1951. Т. 38. С. 244–278.

19.   Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Гл. редакция физ.-мат. литературы изд-ва Наука, 1977. 456 с.

20.   Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов., M.-Л., OHTИ, 1937.

21.   Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992. 304 с.

22.   Milovanović G.V., Mitrinović D.S., Rassias Th.M. Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities, Zeros. Singapore: World Scientific, 1994. 821 p.

23.   Borwein P., Erdélyi T. Polynomials and Polynomial Inequalities. New York: Springer-Verlag, 1995.

24.   Rahman Q.I., Schmeisser G. Analytic Theory of Polynomials. Oxford: Oxford Univ. Press, 2002. 742 p.

25.   Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наукова думка, 2003. 590 c.

26.   Бари Н.К. Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А. А. Маркова // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1954. Т. 18, № 2. C. 159–176.

27.   Иванов В.И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метриках // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 4. C. 489–498.

28.   Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 1980. Т. 27, вып. 4. С. 539–547.

29.   Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей у веса // Тр. МИАН. 1992, Т. 198. С. 41–88.

30.   Babenko V., Kofanov V., Pichugov S. Comparison of rearrangement and Kolmogorov–Nagy type inequalities for periodic functions. Approx. Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov / ed. B. Bojanov. Sofia: DARBA, 2002. P. 24–53.

31.   Горбачев Д.В. Точные неравенства Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. C. 58–110. doi: 10.22405/2226-8383-2021-22-5-58-110

32.   Арестов В.В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических полиномов на многомерной евклидовой сфере // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. P. 34–47.

33.   Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and $L_q$-norm with ultraspherical weight of algebraic polynomials on an interval // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 4. P. 689–708. doi: 10.1007/s40315-015-0134-y

34.   Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and $L_q$-norm with Jacobi weight of algebraic polynomials on an interval // Analysis Math. 2016. Vol. 42, no. 2. P. 91–120. doi: 10.1007/s10476-016-0201-2

35.   Arestov V., Deikalova M., Horváth Á. On Nikol’skii type inequality between the uniform norm and the integral $q$-norm with Laguerre weight of algebraic polynomials on the half-line // J. Approx. Theory. 2017. Vol. 222. P. 40–54. doi: 10.1016/j.jat.2017.05.005

36.   Arestov V.V. A characterization of extremal elements in some linear problems // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P. 22–32. doi: 10.15826/umj.2017.2.004

Поступила 14.04.2023

После доработки 17.05.2023

Принята к публикации 22.05.2023

Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Дейкалова Марина Валерьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: marina.deikalova@urfu.ru

Ссылка на статью: В.В. Арестов, М.В. Дейкалова. Обобщенный сдвиг, порожденный  sinc-функцией, на отрезке // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 27-48

English

V.V. Arestov, M.V. Deikalova. A generalized translation operator generated by the sinc function on an interval

We discuss the properties of the generalized translation operator generated by the system of functions $\mathfrak{S}=\{{(\sin k\pi x)}/{(k\pi x)}\}_{k=1}^\infty$ in the spaces $L^q=L^q((0,1),{\upsilon}),$  $q\ge 1,$ on the interval $(0,1)$ with the weight $\upsilon(x)=x^2$. We find an integral representation of this operator and study its norm in the spaces $L^q,$ $1\le q\le\infty.$ The translation operator is applied to the study of Nikol'skii's inequality between the uniform norm and the $L^q$-norm of polynomials in the system $\mathfrak{S}.$

Keywords: generalized translation, sinc function, inequality of different metrics

Received April 14, 2023

Revised May 17, 2023

Accepted May 22, 2023

Funding Agency: This work was performed as a part of the research conducted in the Ural Mathematical Center and supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2023-913).

Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Marina Valer’evna Deikalova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; e-mail: marina.deikalova@urfu.ru

Cite this article as: V.V. Arestov, M.V. Deikalova. A generalized translation generated by the sinc function on an interval. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 27–48; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S32–S52.

[References -> on the "English" button bottom right]