Г. Акишев. Неравенство разных метрик Никольского для тригонометрических полиномов в пространстве со смешанной несимметричной нормой ... С. 11-26

УДК 517.51

MSC: 41A17, 42A05

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-11-26

Работа выполнена в рамках грантового финансирования Комитета науки Министерства науки и высшего образования РК (проект AP19677486).

Полный текст статьи (Full text)

В статье рассматривается пространство Лебега со смешанной нормой $2\pi$-периодических функций $m$ переменных. На основе этого пространства Лебега определено пространство со смешанной несимметричной нормой. Основная задача статьи — доказать неравенство разных метрик Никольского для кратных тригонометрических полиномов в пространствах со смешанными несиммеричными нормами. Статья состоит из введения и трех разделов. В первом разделе доказаны несколько вспомогательных утверждений о несимметричной норме кратного тригонометрического полинома. Во втором разделе доказано неравенство разных метрик Никольского для кратных тригонометрических полиномов в пространствах со смешанными несимметричными нормами. В третьем разделе доказана точность неравенства Никольского для кратных тригонометрических полиномов. Построен экстремальный полином.

Ключевые слова: пространство с несимметричной нормой, неравенство разных метрик Никольского, тригонометрический полином

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

2.   Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

3.   Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблемы моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 552 с.

4.   Stefan Cobzaş. Functional analysis in asymmetric normed spaces. Basel et al.: Springer, 2013. 230 p.

5.   Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Аппроксимация со знакочувствительным весом // Изв. РАН. Сер. математическая. 1998. Т. 62, № 6. С. 59–102; Т. 63, № 3. С. 77–118.

6.   Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах аппроксимации в метрике знакочувствительного веса // Anal. Math. 1995. Vol. 21, no. 3. С. 191–212. doi: 10.1007/BF01911125

7.   Бородин П.А. Теорема Банаха — Мазура для пространств с несимметричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе // Мат. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 329–337.

8.   Alimov A.R. Universality theorems for asymmetric spaces // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2023. Vol. 26, no. 2. Article no. 2250017. 11 p. doi: 10.1142/S0219025722500175

9.   Царьков И.Г. Равномерная выпуклость в несимметричных пространствах // Мат. заметки. 2021. Т. 110, № 5. С. 773–785. doi: 10.4213/mzm13207

10.   Козко А.И. Аналоги неравенств Джексона — Никольского для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой // Мат. заметки. 1997. Т. 61, № 5. С. 687–699. doi: 10.4213/mzm1550

11.   Козко А.И. Многомерные неравенства разных метрик в пространствах с несимметричной нормой // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 9. С. 85–106.

12.   Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН СССР. 1951. Т. 38. С.  244–278.

13.   Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. 1933. Vol. 39, no. 12. P. 889–906.

14.   Бари Н.К. Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А. А. Маркова // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1954. Т. 18, № 2. С. 159–176.

15.   Потапов М.К. Некоторые неравенства для полиномов и их производных // Вестн. МГУ. Сер. математика и механика. 1960. № 2. С. 10–20.

16.   Халилова Б.А. О некоторых оценках для полиномов // Изв. АН Азерб. ССР. Cер. физико-технических наук. 1974. № 2. С. 46–54.

17.   Иванов В.И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метриках // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 4. С. 489–498.

18.   Буренков В.И. Теоремы вложения и продолжения для дифференцируемых функций многих переменных, заданных во всем пространстве // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1966. С. 71–155.

19.   Горбачев Д.В., Точные неравенства Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2022. Т. 22, № 5. С. 58–110. doi: 10.22405/2226-8383-2021-22-5-58-110

20.   Nessel R. J., Wilmes G. Nikol’skii–type inequalities for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type // J. Austral. Math. Soc. 1978. Vol.  25 (Series A). P. 7–18. doi: 10.1017/S1446788700038878

21.   Смаилов Е.С. О влиянии геометрических свойств спектра многочлена на неравенства разных метрик С. М. Никольского // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 5. С. 1158–1163.

22.   Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121, №3. С. 15–417.

23.   Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 4. С. 539–547.

24.   Черных Н.И. О некоторых экстремальных задачах для полиномов // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 48–89.

25.   Arestov V.V., Glazyrina P.Yu. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials // J. Approx. Theory. 2012. Vol. 164, no. 11. P. 1501–1512. doi: 10.1016/j.jat.2012.08.004

26.   Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horváth Á. , Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-Line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, no. 1, P. 21–42. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6

27.   Арестов В.В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С.  34–47.

28.    Арестов В.В., Дейкалова М.В. Об одном обобщенном сдвиге и соответствующем неравенстве разных метрик // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 40 –53. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-40-53

29.   Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, № 2. С. 80–89.

30.    Мартьянов И.А. Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра // Чебышевский сб. 2020. Т. 21, № 1. С.  247–258. doi: 10.22405/2226-8383-2018-21-1-247-258

31.   Ganzburg M.I., Tikhonov S.Y. On sharp constants in Bernstein–Nikolskii inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45. P. 449–466. doi: 10.1007/s00365-016-9363-1

32.   Унинский А.П. Неравенства в смешанной норме для тригонометрических полиномов и целых функций конечной степени // Теоремы вложения и их приложения: тр. симпозиума по теоремам вложения (Баку, 1966). М: Наука, 1970. С. 212–218.

33.   Сабзиев Н.М. Об одной экстремальной задаче в классе тригонометрических полиномов // Исследование по современным проблемам конструктивной теории функций. Изд-во АН Азерб. ССР. 1965. С. 265–272.

34.   Потапов М.К. Теоремы вложения в смешанной метрике // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 156. С. 143–156.

Поступила 14.08.2023

После доработки 6.11.2023

Принята к публикации 13.11.2023

Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Казахстанский филиал, г. Астана;
Институт математики и математического моделирования, г. Алматы
e-mail: akishev_g@mail.ru

Ссылка на статью: Г. Акишев. Неравенство разных метрик Никольского для тригонометрических полиномов в пространстве со смешанной несимметричной нормой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 3. С. 11-26

English

G. Akishev. Nikol’skii’s inequality of different metrics for trigonometric polynomials in a space with mixed asymmetric norm

A Lebesgue space of $2\pi$-periodic functions of $m$ variables with a mixed norm is considered. Based on this Lebesgue space, a space with a mixed asymmetric norm is defined. The main aim of the paper is to prove Nikol’skii’s inequality of different metrics for multiple trigonometric polynomials in spaces with mixed asymmetric norms. The paper consists of an introduction and three sections. In the first section, several auxiliary statements about the asymmetric norm of a multiple trigonometric polynomial are proved. In the second section, Nikol’skii’s inequality of different metrics is proved for multiple trigonometric polynomials in spaces with mixed asymmetric norms. In the third section, the accuracy of Nikol’skii’s inequality for multiple trigonometric polynomials is established. An extremal polynomial is constructed.

Keywords: space with asymmetric norm, Nikol’skii’s inequality of different metrics, trigonometric polynomial

Received August 14, 2023

Revised November 6, 2023

Accepted November 13, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (grant no. AP19677486).

Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow University, Kazakhstan Branch, Astana, 100001 Republic Kazakhstan; Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Republic Kazakhstan e-mail: akishev_g@mail.ru

Cite this article as: G. Akishev. Nikol’skii’s inequality of different metrics for trigonometric polynomials in a space with mixed asymmetric norm. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 11–26.

[References -> on the "English" button bottom right]