И.Д. Супруненко, Т.С. Бусел, А.А. Осиновская. Специальные факторы в ограничениях неприводимых модулей классических групп на подсистемные подгруппы с двумя простыми компонентами ... С. 259-273

УДК 512.743.7

MSC: 20G05

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-259-273

Работа выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект Ф21-054).

Полный текст статьи (Full text)

Исследуются неприводимые $p$-ограниченные модули классических алгебраических групп в нечетной характеристике $p$ с большими относительно $p$ старшими весами. Рассматриваются их ограничения на подсистемную подгруппу $H$ максимального ранга с двумя простыми компонентами $H_1$  и $H_2$.  При небольших ограничениях на ранги подгрупп $H_1$ и $H_2$ найдена нижняя оценка  числа  композиционных факторов (исследуемых модулей),  которые  являются $p$-большими для подгруппы $H_1$ и не слишком малы для $H_2$; эта оценка растет с ростом старшего веса. На этой основе получены нижние оценки для числа блоков Жордана максимальной размерности у образов определенных унипотентных элементов в соответствующих представлениях рассматриваемых групп.

Ключевые слова: классические алгебраические группы, модулярные представления, подсистемные подгруппы, ограничения, композиционные факторы, унипотентные элементы, блоки Жордана

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли: гл. IV-VI. М.: Мир, 1972. 334 c.

2.   Супруненко И.Д. О поведении унипотентных элементов в модулярных представлениях классических групп с большими старшими весами // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 1. С. 27–32.

3.   Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 264 c.

4.   Burness T.C., Ghandour S., Marion C., Testerman D.M. Irreducible almost simple subgroups of classical algebraic groups // Memoirs of the AMS. 2015. Vol. 236. 110 p. ISBN: 978-1-4704-1046-9

5.   Burness T.C., Ghandour S., Testerman D.M. Irreducible geometric subgroups of classical algebraic groups // Memoirs of the AMS. 2015. Vol. 239. 100 p. ISBN: 978-1-4704-1494-8

6.   Cavallin M., Testerman D.M. A new family of irreducible subgroups of the orthogonal algebraic groups // Trans. Amer. Math. Soc. Ser. B. 2019. Vol. 6, no. 2. P. 45–79. doi: 10.1090/btran/28

7.   Ghandour S. Irreducible disconnected subgroups of exceptional algebraic groups // J. Algebra. 2010. Vol. 323. P. 2671–2709. doi: 10.1016/j.jalgebra.2010.02.018

8.   Korhonen M. Reductive overgroups of distinguished unipotent elements in simple algebraic groups. Ph.D. Thesis. Lausanne: EPFL, 2017. 241 p. doi: 10.5075/epfl-thesis-8362

9.   Liebeck M.W., Seitz G.M., Testerman D.M. Distinguished unipotent elements and multiplicity-free subgroups of simple algebraic groups // Pacific J. Math. 2015. Vol. 279, no. 1–2. P. 357–382. doi: 10.2140/pjm.2015.279.357

10.   Lubeck F. Small degree representations of finite Chevalley groups in defining characteristic // LMS J. Comput. Math. 2001. Vol. 4. P. 135–169. doi: 10.1112/S1461157000000838

11.   Seitz G.M. The maximal subgroups of classical algebraic groups // Memoirs of the AMS. 1987. Vol. 365. 286 p. ISBN: 978-1-4704-0781-0 .

12.   Smith S. Irreducible modules and parabolic subgroups // J. Algebra. 1982. Vol. 75. P. 286–289. doi: 10.1016/0021-8693(82)90076-X

13.   Suprunenko I.D. On Jordan blocks of elements of order p in irreducible representations of classical groups with $p$-large highest weights // J. Algebra. 1997. Vol. 191. P. 589–627. doi: 10.1006/jabr.1996.6916

14.   Suprunenko I.D. The minimal polynomials of unipotent elements in irreducible representations of the classical groups in odd characteristic // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 2009. Vol. 200, no. 939. 154 p. ISBN: 978-1-4704-0553-3 .

15.   Suprunenko I.D. Special composition factors in restrictions of representations of special linear and symplectic groups to subsystem subgroups with two simple components // Тр. Ин-та математики. 2018. Т. 26, № 1. С. 113–133.

16.   Testerman D.M. Irreducible subgroups of exceptional algebraic groups // Memoirs of the AMS. 1988. Vol. 390. 190 p.

Поступила 30.06.2023

После доработки 10.10.2023

Принята к публикации 16.10.2023

Супруненко Ирина Дмитриевна
д-р физ.-мат. наук, главный науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси
г. Минск
e-mail: anna@im.bas-net.by

Бусел Татьяна Сергеевна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси
г. Минск
e-mail: tbusel@gmail.com

Осиновская Анна Александровна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси
г. Минск
e-mail: anna@im.bas-net.by

Ссылка на статью: И.Д. Супруненко, Т.С. Бусел, А.А. Осиновская. Специальные факторы в ограничениях неприводимых  модулей классических групп на подсистемные подгруппы с двумя простыми компонентами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 259-273

English

I.D. Suprunenko, T.S. Busel, A.A. Osinovskaya. Special factors in the restrictions of irreducible modules of classical groups to subsystem subgroups with two simple components

For restrictions of $p$-restricted irreducible modules of classical algebraic groups in odd characteristic $p$ with highest weights that are relatively large with respect to $p$ to a subsystem subgroup $H$ of maximal rank with two main components $H_1$ and $H_2$ under slight constraints restrictions on the ranks of the subgroups $H_1$ and $H_2$, a lower bound is found for the number of composition factors that are $p$-large for the subgroup $H_1$ and not too small for $H_2$; the bound grows as the highest weight increases. On this basis, lower bounds are obtained for the number of Jordan blocks of maximal size for the images of certain unipotent elements in the corresponding representations of the groups.

Keywords: classical algebraic groups, modular representations, restrictions, composition factors, unipotent elements, Jordan blocks

Received June 30, 2023

Revised October 10, 2023

Accepted October 16, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. F21-054).

Irina Dmitrievna Suprunenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: anna@im.bas-net.by

Tatiana Sergeevna Busel, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: tbusel@gmail.com

Anna Aleksandrovna Osinovskaya, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: anna@im.bas-net.by

Cite this article as: I.D. Suprunenko, T.S. Busel, A.A. Osinovskaya. Special factors in the restrictions of irreducible modules of classical groups to subsystem subgroups with two simple components. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 259–273.

[References -> on the "English" button bottom right]