А.В. Рожков, В.Ю. Барсукова. АТ-группы ... С. 241-258

УДК 512.544

MSC: 20B07, 20F50

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-241-258

Полный текст статьи (Full text)

Изучаются периодические не локально конечные (бернсайдовы) группы неограниченного периода. Первый явно заданный пример такой группы предложил С.В.Алешин в 1972 г. Обобщением его конструкции стали AT-группы — группы автоморфизмов деревьев. С помощью AT-групп решен ряд известных проблем. Данная работа является продолжением и развитием предыдущей статьи одного из авторов. Реализована новая стратегия изучения AT-групп. Вновь рассмотрены ставшие уже классическими, но, как оказалось малоизученные примеры Алешина, Сущанского и Гупты. Обобщен и по-новому рассмотрен хорошо изученный пример 2-группы Григорчука. Введены новые классы AT-групп. Предложены задачи “для часа проблем”.

Ключевые слова: бернсайдовы группы, финитно аппроксимируемые группы, условия конечности, AT-группы, деревья, сплетения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1964. Т. 28, № 2. С. 273–276.

2.   Алешин С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки. 1972. Т. 11, № 3. С. 319–328.

3.   Сущанский В.И. Периодические $p$-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 3. С. 561–565.

4.   Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функц. анализ и его приложения. 1980. Т. 14, № 1. С. 53–54.

5.   Gupta N., Sidki S. Some infinite $p$-groups // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, № 5. С. 584–589.

6.   Рожков А.В. О подгруппах бесконечных конечно порожденных $p$-групп // Мат. сб. 1986, T. 129 (171), № 3. C. 422–433.

7.   Григорчук Р.И. Степени роста конечно-порожденных групп и инвариантное среднее // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1984. Т. 48, № 5. С. 572–589.

8.   Рожков А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев: дис. …д-р физ.-мат. наук / Краноярск. гос. ун-т. Красноярск, 1997. 230 c.

9.   The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory / eds. V.D. Mazurov, E.I. Khukhro. 20th ed. Novosibirsk: Inst. Math. SO RAN Publ., 2022. 269 p. URL: https://kourovka-notebook.org/ .

10.   Рожков А.В. AT-группы, не являющиеся AT-подгруппами: переход от $AT_\omega$-групп к $AT_\Omega$-группам // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 218–231. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-218-231

11.   Мерзляков Ю.И. О бесконечных конечно-порожденных периодических группах // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268, № 4. С. 803–805.

12.   Первова Е.Л. Конгруэнц-свойство AT-групп // Алгебра и логика. 2002. Т. 41, № 5. С. 553–567.

13.   Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989. 448 p.

14.   Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982. 288 p.

15.   Созутов А.И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой // Алгебра и логика, 2000, Т. 39, № 5. С. 602–617.

16.   Лысёнок И.Г. Система определяющих соотношений для группы Григорчука // Мат. заметки. 1985, Т. 38, № 4, C. 503–516.

17.   Григорчук Р.И. Ветвящиеся группы // Мат. заметки, 2000, Т. 67, № 6. C. 852–858.

Поступила 24.09.2023

После доработки 12.11.2023

Принята к публикации 20.11.2023

Рожков Александр Викторович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор Кубанского государственного университета
г. Краснодар
e-mail: ros@math.kubsu.ru

Барсукова Виктория Юрьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент Кубанского государственного университета
г. Краснодар
e-mail: barsukova.v.y@gmail.com

Ссылка на статью: А.В. Рожков, В.Ю. Барсукова. АТ-группы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 241-258

English

A.V. Rozhkov, V.Yu. Barsukova. AT-groups

Periodic nonlocally finite (Burnside) groups of infinite period are studied. The first explicitly given example of such a group was proposed by S. V. Aleshin in 1972. His construction was generalized to AT-groups, which are automorphism groups of trees. A number of well-known problems have been solved with the help of AT-groups. This work is a continuation and development of the previous article by one of the authors. A new strategy for studying AT-groups has been implemented. The examples of Alyoshin, Sushanskii, and Gupta, which have already become classical, but, as it turned out, are poorly studied, are reviewed again. A well-studied example of Grigorchuk’s 2-group is generalized and reviewed in a new way. New classes of AT-groups are introduced. Tasks for the hour of problems are proposed.

Keywords: Burnside groups, residually finite groups, finiteness conditions, AT-groups, trees, wreath products

Received September 24, 2023

Revised November 12, 2023

Accepted November 20, 2023

Alexander Vicktorovich Rozhkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Kuban State University, Krasnodar, 350040 Russia, e-mail: ros@math.kubsu.ru

Victoria Yurievna Barsukova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Kuban State University, Krasnodar, 350040 Russia, e-mail: barsukova.v.y@gmail.com

Cite this article as: A.V. Rozhkov, V.Yu. Barsukova. AT-groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 241–258.

[References -> on the "English" button bottom right]