В.И. Трофимов. Граф с локально проективной транзитивной на вершинах группой автоморфизмов $\mathrm{Aut}(Fi_{22})$, имеющей нетривиальный стабилизатор шара радиуса 2 ... С. 274-278

УДК 512.542+519.175.1

MSC: 05E18, 20B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-274-278

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2023-935).

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S300–S304. (Abstract)

Ранее в качестве подтверждения реализуемости одной из возможностей для строения стабилизаторов вершин графов с проективными подорбитами автором было анонсировано существование связного графа $\Gamma$, допускающего изоморфную ${\rm Aut}(Fi_{22})$ группу автоморфизмов $G$ со следующими свойствами. Во-первых, группа $G$ действует транзитивно на множестве вершин $\Gamma$, но интранзитивно на множестве $3$-дуг $\Gamma$. Во-вторых, стабилизатор в $G$ вершины графа $\Gamma$ индуцирует на окрестности этой вершины группу $PSL_3(3)$ в естественном дважды транзитивном представлении. В-третьих, поэлементный стабилизатор в $G$ шара радиуса $2$ графа $\Gamma$ неединичен. В настоящей работе дается построение такого графа $\Gamma$, причем со свойством $G = {\rm Aut}(\Gamma)$.

Ключевые слова:  граф, транзитивная локально проективная группа автоморфизмов, группа Фишера $Fi_{22}$

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Trofimov V.I. Vertex stabilizers of locally projective groups of automorphisms of graphs: a summary // Groups, Combinatorics and Geometry, Durham 2001. NJ etc.: World Sci. Publ., 2003. P. 313–326.

2.   Трофимов В.И. Графы с проективными подорбитами. Случаи малых характеристик. I, II // Изв. РАН. Сер. математическая. 1994. Т. 58, № 5. С. 124–171; 1994. Т. 58, № 6. С. 137–156.

3.   Трофимов В.И. Стабилизаторы вершин графов с проективными подорбитами // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315, № 3. С. 544–546.

4.   Трофимов В.И. Графы с проективными подорбитами. Исключительные случаи характеристики 2. I // Изв. РАН. Сер. математическая. 1998. Т. 62, № 6. С. 159–222.

5.   Conway J.H. [et al.] Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1995. 252 p.

6.   Wilson R.A. On maximal subgroups of the Fischer group $Fi_{22}$ // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1984. Vol. 95. P. 197–222. doi: 10.1017/S0305004100061491

7.   Kleidman P.B., Wilson R.A. The maximal subgroups of $Fi_{22}$ // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1987. Vol. 102. P. 17–23. doi: 10.1017/S0305004100067001

8.   Kitazume M., Yoshiara S. The radical subgroups of the Fischer simple groups // J. Algebra. 2002. Vol. 255. P. 22–58. doi: 10.1016/S0021-8693(02)00119-9

9.   Fischer B. Finite groups generated by 3-transpositions. WMI Preprints. Coventry (UK): University of Warwick, 1969. (University of Warwick lecture notes).

10.   Gardiner A. Arc transitivity in graphs // Quart. J. Math. Oxford (2). 1973. Vol. 24. P. 399–407. doi: 10.1093/qmath/24.1.399

Поступила 26.09.2023

После доработки 6.10.2023

Принята к публикации 9.10.2023

Трофимов Владимир Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: trofimov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: В.И. Трофимов. Граф с локально проективной транзитивной на вершинах группой автоморфизмов $\mathrm{Aut}(Fi_{22})$, имеющей нетривиальный стабилизатор шара радиуса 2 // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 274-278

English

V.I. Trofimov. A graph with a locally projective vertex-transitive group of automorphisms $\mathrm{Aut}(Fi_{22})$ which has a nontrivial stabilizer of a ball of radius 2

Earlier, to confirm that one of the possibilities for the structure of vertex stabilizers of graphs with projective suborbits is realizable, we announced the existence of a connected graph $\Gamma$ admitting a group of automorphisms $G$ which is isomorphic to Aut$(Fi_{22})$ and has the following properties. First, the group $G$ acts transitively on the set of vertices of $\Gamma$, but intransitively on the set of $3$-arcs of $\Gamma$. Second, the stabilizer in $G$ of a vertex of $\Gamma$ induces on the neighborhood of this vertex a group $PSL_3(3)$ in its natural doubly transitive action. Third, the pointwise stabilizer in $G$ of a ball of radius 2 in $\Gamma$ is nontrivial. In this paper, we construct such a graph $\Gamma$ with $G ={\rm Aut}(\Gamma)$.

Keywords: graph, transitive locally projective group of automorphisms, Fischer group $Fi_{22}$

Received September 26, 2023

Revised October 6, 2023

Accepted October 9, 2023

Funding Agency: This work was performed as a part of the research conducted in the Ural Mathematical Center and supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2023-935).

Vladimir Ivanovich Trofimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: trofimov@imm.uran.ru

Cite this article as: V.I. Trofimov. A graph with a locally projective vertex-transitive group of automorphisms $\mathrm{Aut}(Fi_{22})$ which has a nontrivial stabilizer of a ball of radius 2. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 274–278; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S300–S304.

[References -> on the "English" button bottom right]