УДК 512.577+512.548.2+512.534.2
MSC: 20N02, 20М30
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-143-159
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Красноярском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2022-876).
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S170–S185. (Abstract)
В работе рассматривается проблема поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов произвольного группоида. Установлено, что данный моноид раскладывается в объединение попарно непересекающихся классов эндоморфизмов; эти классы получают название базовых множеств эндоморфизмов. Такие множества эндоморфизмов группоида $G$ параметризуются отображениями $\gamma: G\to \{1,2\}$, которые в данной работе называются биполярными типами (либо, кратко, типами). Если некоторый эндоморфизм лежит в базовом множестве типа $\gamma$, то мы говорим, что этот эндоморфизм имеет тип $\gamma$. Таким образом, мы получаем классификацию всех эндоморфизмов фиксированного группоида (биполярную классификацию эндоморфизмов). Выявлена связь между типами эндоморфизмов двух изоморфных группоидов. Базовое множество эндоморфизмов не обязано быть замкнутым относительно композиции. Построены группоиды, в которых некоторые базовые множества замкнуты. Для каждого базового множества строится полугруппа эндоморфизмов, которая в этом базовом множестве содержится. Эти полугруппы в некоторых случаях вырождаются в пустые множества. Приведены примеры группоидов, в которых построенные полугруппы эндоморфизмов непустые. Построенные полугруппы могут быть использованы для исследования проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов и для изучения структуры моноида всех эндоморфизмов.
Ключевые слова: эндоморфизм группоида, автоморфизм группоида, группоид, базовое множество эндоморфизмов, биполярная классификация эндоморфизмов группоида, монотипные полугруппы эндоморфизмов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Litavrin A. V. Endomorphisms of Some Groupoids of Order $k + k^2$ // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2020. Vol. 32. P. 64–78. doi: 10.26516/1997-7670.2020.32.64
2. Litavrin A. V. On endomorphisms of the additive monoid of subnets of a two-layer neural network // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2022. Vol. 39. P. 111–126. doi: 10.26516/1997-7670.2022.39.111
3. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 3. С. 211–224.
4. Ильиных А. П. Классификация конечных группоидов с 2 транзитивной группой автоморфизмов // Мат. сб. 1994. Т. 185, № 6. С. 51–78. doi.org/10.1070/SM1995v082n01ABEH003557
5. Ильиных А. П. Группоиды порядка $q(q \pm 1)/2$, $q = 2^r$, имеющие группу автоморфизмов, изоморфную $SL(2,q)$ // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1336–1341. doi.org/10.1007/BF02106838
6. Тимофеенко Г. В., Глухов М. М. Группа автоморфизмов конечно-определенных квазигрупп // Мат. заметки. 1985. Т. 37 , № 5. С. 617–626.
7. Табаров А. Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп // Дискрет. математика. 2007. Т. 19, № 2. С. 67–73. doi.org/10.4213/dm21
8. Жучок Ю. В. Полугруппы эндоморфизмов некоторых свободных произведений // Фундамент. и прикл. математика. 2012. Т. 17, № 3. С. 51–60.
9. Бунина Е. И., Сосов К. Эндоморфизмы полугрупп неотрицательных обратимых матриц порядка два над коммутативными упорядоченными кольцами // Фундамент. и прикл. математика. 2021. Т. 23, № 4. C. 39–53
10. Немиро В. В. Эндоморфизмы полугрупп обратимых неотрицательных матриц над упорядоченными ассоциативными кольцами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2020. № 5. С. 3–8.
Поступила 12.09.2022
После доработки 20.12.2022
Принята к публикации 26.12.2022
Литаврин Андрей Викторович
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики № 2
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета
г. Красноярск
e-mail: anm11@rambler.ru
Ссылка на статью: А.В. Литаврин. О поэлементном описании моноида всех эндоморфизмов произвольного группоида и одной классификации эндоморфизмов группоида // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 143-159
English
A.V. Litavrin. On an element-by-element description of the monoid of all endomorphisms of an arbitrary groupoid and one classification of endomorphisms of a groupoid
The problem of element-by-element description of the monoid of all endomorphisms of an arbitrary groupoid is considered. It is established that this monoid is decomposed into a union of pairwise disjoint classes of endomorphisms; these classes are called basic sets of endomorphisms. These sets of endomorphisms of a groupoid $G$ are parameterized by mappings $\gamma: G\to \{1,2\}$, which in this paper are called bipolar types (hereinafter, simply types). If some endomorphism lies in a basic set of type $\gamma$, then we say that it has type $\gamma$. Thus, we obtain a classification of all endomorphisms of a fixed groupoid (a bipolar classification of endomorphisms). A connection between the types of endomorphisms of two isomorphic groupoids is revealed. The basic set of endomorphisms need not be closed under composition. Groupoids are constructed in which some basic sets are closed. For each basic set, an endomorphism semigroup contained in this basic set is constructed. These semigroups in some cases degenerate into empty sets. Examples of groupoids are given in which the constructed endomorphism semigroups are nonempty. The constructed semigroups can be used to study the problem of element-by-element description of the monoid of all endomorphisms and to study the structure of the monoid of all endomorphisms.
Keywords: groupoid endomorphism, groupoid automorphism, groupoid, basic set of endomorphisms, bipolar classification of groupoid endomorphisms, monotypic endomorphism semigroups
Received September 12, 2022
Revised December 20, 2022
Accepted December 26, 2022
Funding Agency: This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement No. 075-02-2022-876).
Andrey Viktorovich Litavrin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: anm11@rambler.ru
Cite this article as: A.V. Litavrin. On an element-by-element description of the monoid of all endomorphisms of an arbitrary groupoid and one classification of endomorphisms of a groupoid. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 143–159; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S170–S185.
[References -> on the "English" button bottom right]
