Г.А. Курина, Н.Т. Хоай. Асимптотика решения нулевого порядка для одного типа сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач управления в критическом случае ... С. 127-142

УДК 517.9

MSC: 34H05, 34E15

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-127-142

Работа первого автора поддержана Российским научным фондом (проект 21-11-00202), работа второго автора поддержана Вьетнамским национальным фондом развития науки и технологий (НАФОСТЕД) (проект 101.02-2021.43).

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S154–S169. (Abstract)

Рассматривается линейно-квадратичная задача управления, в уравнении состояния которой при производной стоит квадрат малого параметра, а при квадратичной форме относительно управления в критерии качества и при управлении в уравнении состояния — первая степень этого параметра, при этом уравнение состояния относится к критическому случаю теории сингулярных возмущений. Построена асимптотика решения нулевого порядка при помощи так называемого метода прямой схемы, состоящего в непосредственной подстановке в условие задачи постулируемого асимптотического разложения решения и в определении задач для нахождения членов асимптотики.

Ключевые слова: линейно-квадратичная задача управления, сингулярные возмущения, критический случай, асимптотика решения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

2.   Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., Zou Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 // Int. J. Inf. Syst. Sci. 2014. Vol. 9, no. 1. P. 1–36.

3.   Курина Г.А., Калашникова М.А. Сингулярно возмущенные задачи с разнотемповыми быстрыми переменными // Автоматика и телемеханика. 2022. № 11. С. 3–61. doi: 10.31857/S0005231022110010

4.   Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Об одной задаче теории сингулярных возмущений // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 10. С. 1736–1747.

5.   Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978. 106 с.

6.   Курина Г.А., Хоай Н.Т. Проекторный подход к алгоритму Бутузова — Нефедова асимптотического решения одного класса сингулярно возмущенных задач в критическом случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2020. Т. 60, № 12. С. 2073–2084. doi: 10.31857/S0044466920120078

7.   Данилин А.Р., Захаров С.В., Коврижных О.О., Леликова Е.Ф., Першин И.В., Хачай О.Ю. Екатеринбургское наследие Арлена Михайловича Ильина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 2. С. 42–66. doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-2-42-66

8.   Белокопытов С.В., Дмитриев М.Г. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем // Автоматика и телемеханика. 1989. Т. 7. С. 71–82.

9.   Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Прямая схема построения асимптотики решения классических задач оптимального управления // Программные системы: Теоретические основы и приложения. М.: Наука, Физматлит, 1999. С. 44–55.

10.   Kurina G., Nguyen T.H. Zero-order asymptotic solution of a class of singularly perturbed linear-quadratic problems with weak controls in a critical case // Optim. Control Appl. Math. 2019. Vol. 40, no. 5. P. 859–879. doi: 10.1002/oca.2514

11.   Sibuya Y. Some global properties of matrices of functions of one variable // Math. Ann. 1965. Vol. 161. P. 67–77.

12.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. Асимптотика оптимального времени перевода линейной управляемой системы с нулевыми вещественными частями собственных значений матрицы при быстрых переменных на неограниченное целевое множество. // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 48–61. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-48-61

13.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством для линейной системы в критическом случае. // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 58–73. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-58-73

14.   Като T. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

15.   Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука. Физматлит, 1965. 424 с.

16.    Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 с.

Поступила 25.01.2023

После доработки 15.02.2023

Принята к публикации 20.02.2023

Курина Галина Алексеевна
д-р физ.-мат. наук, профессор
Воронежский государственный университет
г. Воронеж;
Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление”
Российской академии наук
г. Москва
e-mail: kurina@math.vsu.ru

Нгуен Тхи Хоай
канд. физ.-мат. наук
Научный университет Вьетнамского национального университета
г. Ханой
e-mail: nguyenthihoai@hus.edu.vn

Ссылка на статью: Г.А. Курина, Н.Т. Хоай. Асимптотика решения нулевого порядка для одного типа сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач управления в критическом случае // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29,№ 1. С. 127-142

English

G.A. Kurina, N.T. Hoai. Zero-order asymptotics for the solution of one type of singularly perturbed linear–quadratic control problems in the critical case

We consider a linear–quadratic control problem in which there is the second power of a small parameter at the derivative of the state variable and the first power of the parameter both in the control term of the state equation and at the quadratic form of the control variable in the performance index; moreover, the state equation represents a critical case of singular perturbation theory. A zero-order asymptotic expansion of the solution is constructed using the so-called direct scheme method, in which a postulated asymptotic expansion of the solution is substituted directly into the problem statement and problems for finding the asymptotic terms are stated.

Keywords: linear–quadratic control problem, singular perturbations, critical case, asymptotics of solution

Received January 25, 2023

Revised February 15, 2023

Accepted February 20, 2023

Funding Agency: The research of the first author was supported by the Russian Science Foundation (project no. 21-11-00202), and the research of the second author was supported by the Vietnam National Foundation for Science and Technology Development (NAFOSTED) (project no. 101.02-2021.43).

Galina Alekseevna Kurina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Voronezh State University, Voronezh, 394018 Russia; Federal Research Center “Informatics and Control” , Russian Academy of Sciences, Moscow, 119333 Russia, e-mail: kurina@math.vsu.ru

Nguyen Thi Hoai, PhD. Phys.-Math., VNU, University of Science, Hanoi, Vietnam, e-mail: nguyenthihoai@hus.edu.vn

Cite this article as: G.A. Kurina, N.T. Hoai. Zero-order asymptotics for the solution of one type of singularly perturbed linear–quadratic control problems in the critical case, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 127–142; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics  (Suppl.), 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S154–S169.

[References -> on the "English" button bottom right]