УДК 517.977
MSC: 93C41, 93C55, 93B50, 93B40, 52B12
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-111-126
Полный текст статьи (Full text)
Рассматривается задача уклонения для линейных многошаговых систем с двумя управлениями, которые могут иметь разные цели, причем цель одного из них — избежать, вне зависимости от действий другого, попадания траектории на заданное терминальное множество в заданный конечный момент времени и, более того, избежать попадания на последовательность множеств, заданных в предыдущие моменты. Называем ее задачей усиленного уклонения. Ее частным случаем является задача уклонения траектории от терминального множества во все моменты времени. Приводится способ синтеза управлений на основе построения трубок разрешимости. Однако точно построить последние обычно достаточно трудно. Далее предполагается, что терминальное и промежуточные множества являются параллелепипедами, а оба управления стеснены параллелотопозначными ограничениями. Предлагается и обосновывается быстрый метод синтеза управлений на основе построения пары связанных полиэдральных трубок с параллелепипедозначными сечениями. Предложенные процедуры применимы для случаев с возможным вырождением или пустотой сечений в некоторые моменты времени. Сечения трубок и значения управлений находятся по явным формулам. Предложено несколько вариантов формул для синтеза управлений. Приведены примеры, иллюстрирующие работоспособность представленного метода.
Ключевые слова: системы с неопределенностью, задача уклонения, синтез управлений, полиэдральные методы, параллелепипеды
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. NY: Springer, 1988. 517 p.
2. Kurzhanski A.B., Vályi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhäuser, 1997. 321 p.
3. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes: theory and computation. Basel: Birkhäuser, 2014. 445 p. (Systems & Control: Foundations & Applications, Book 85). doi: 10.1007/978-3-319-10277-1
4. Taras’ev A.M., Tokmantsev T.B., Uspenskii A.A., Ushakov V.N. On procedures for constructing solutions in differential games on a finite interval of time // J. Math. Sci. 2006. Vol. 139, no. 5. P. 6954–6975. doi: 10.1007/s10958-006-0400-7
5. Зарх М.А., Пацко B.C. Стратегия второго игрока в линейной дифференциальной игре // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, вып. 2. С. 193–200.
6. Botkin N., Martynov K., Turova V., Diepolder J. Generation of dangerous disturbances for flight systems // Dynamic Games and Applications. 2019. Vol. 9, no. 3. P. 628–651. doi: 10.1007/s13235-018-0259-5
7. Esterhuizen W., Wang Q. Control design with guaranteed transient performance: An approach with polyhedral target tubes // Automatica. 2020. Vol. 119. Art. no. 109097. doi: 10.1016/j.automatica.2020.109097
8. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б., Матвиенко В.Т. Полиэдральная формализация задач терминального управления дискретными динамическими объектами // Высокопроизводительные вычислительные системы и технологии. 2020. Т. 4, № 1. С. 224–230.
9. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.
10. Filippova T.F. HJB-inequalities in estimating reachable sets of a control system under uncertainty // Ural Math. J. 2022. Vol. 8, no. 1. P. 34—42. doi: 10.15826/umj.2022.1.004
11. Gusev M.I. The limits of applicability of the linearization method in calculating small–time reachable sets // Ural Math. J. 2020. Vol. 6, no. 1. P. 71–83. doi: 10.15826/umj.2020.1.006
12. Kurzhanskiy A.A., Varaiya P. Reach set computation and control synthesis for discrete-time dynamical systems with disturbances // Automatica. 2011. Vol. 47, no. 7. P. 1414–1426. doi: 10.1016/j.automatica.2011.02.009
13. Kostousova E.K. On the polyhedral method of solving problems of control strategy synthesis // Proc. Steklov Inst. Math. 2016. Vol. 292, Suppl. 1. P. S140–S155. doi: 10.1134/S0081543816020127
14. Kostousova E.K. On polyhedral control synthesis for dynamical discrete-time systems under uncertainties and state constraints // Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series A. 2018. Vol. 38, no. 12. P. 6149–6162. doi: 10.3934/dcds.2018153
15. Martynov K., Botkin N., Turova V., Diepolder J. Real-time control of aircraft take-off in windshear. Part I: Aircraft model and control schemes // IEEE Xplore Digital Library. 2017 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED 2017), July 3–6, 2017, Valletta, Malta: Proc. P. 277–284. doi: 10.1109/MED.2017.7984131
16. Martynov K., Botkin N.D., Turova V.L., Diepolder J. Quick construction of dangerous disturbances in conflict control problems // Annals of the International Society of Dynamic Games. 2020. Vol. 17. P. 3–24. doi: 10.1007/978-3-030-56534-3_1
17. Костоусова Е.К. О полиэдральном методе синтеза управлений в задаче целевого уклонения в линейных многошаговых системах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 101–114. doi: 110.21538/0134-4889-2021-27-3-101-114
18. Ушаков В.Н., Гусейнов Х.Г., Латушкин Я.А., Лебедев П.Д. О совпадении максимальных стабильных мостов в двух игровых задачах о сближении для стационарных управляемых систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 3. С. 219–240.
19. Schneider R.G. Convex bodies: The Brunn-Minkowski theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. 490 p.
20. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука, 1966. 416 c.
21. Костоусова Е.К. О двусторонних полиэдральных оценках множеств достижимости линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 4. С. 55–74.
Поступила 25.01.2023
После доработки 15.02.2023
Принята к публикации 20.02.2023
Костоусова Елена Кирилловна
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: kek@imm.uran.ru
Ссылка на статью: Е.К. Костоусова. О cинтезе управлений в задаче усиленного уклонения для линейных многошаговых систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С.111-126
English
E.K. Kostousova. On a control synthesis in an enhanced evasion problem for linear discrete-time systems
The evasion problem is considered for linear discrete-time systems with two controls that may have different aims. The aim of one of them is to exclude, regardless of the other, the trajectory hitting a given terminal set at a given final instant, and moreover to exclude the trajectory hitting a sequence of sets given at previous instants. We call it an enhanced evasion problem. Its special case is the problem of trajectory evasion from the terminal set at all instants. A method of control synthesis based on the construction of solvability tubes is presented. However, it is usually quite difficult to accurately construct them. Then it is assumed that the terminal and intermediate sets are parallelepipeds and both controls are bounded by parallelotope-valued constraints. A fast method of control synthesis based on the construction of a pair of polyhedral tubes with parallelepiped-valued cross-sections is proposed and justified. The proposed procedures are applicable for cases with possible degeneration or emptiness of the cross-sections at some instants. The cross-sections of the tubes and the control values are found from explicit formulas. Several variants of the control synthesis formula are given. Examples are given to illustrate the presented method.
Keywords: systems with uncertainties, evasion problem, control synthesis, polyhedral methods, parallelepipeds
Received January 25, 2023
Revised February 15, 2023
Accepted February 20, 2023
Elena Kirillovna Kostousova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: kek@imm.uran.ru
Cite this article as: E.K. Kostousova. On a control synthesis in an enhanced evasion problem for linear discrete-time systems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 111–126.
[References -> on the "English" button bottom right]
