В.В. Арестов, М.В. Дейкалова. Об одном обобщенном сдвиге и соответствующем неравенстве разных метрик ... С. 40-53

УДК 517.518.86

MSC: 41A17

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-40-53

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2022-874).

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S30–S42. (Abstract)

В данной работе обсуждаются свойства оператора обобщенного сдвига, порожденного системой  функций $\left\{ \cos\left(\frac{(2k-1)\pi }{2}t\right)\right\}_{k=1}^\infty$, в пространствах $L^p(0,1)$, $p\ge 1.$ Оператор сдвига применяется к исследованию неравенства Никольского между равномерной и $L^p$-нормами полиномов по этой системе.

Ключевые слова: оператор обобщенного сдвига, тригонометрический полином, неравенство разных метрик

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

2.   Бейтмен Г., Эрдейи А.И. Высшие трансцендентные функции. Т. 2: Функции Бесселя. М.: Наука, 1966. 295 с.

3.   Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

4.   Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона — Стечкина в пространстве $L^2(\mathbb{R}^m)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 183–198.

5.   Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Некоторые вопросы приближения функций суммами Фурье — Бесселя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, № 7. С. 1051–1057.

6.   Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horváth A. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, iss. 1. P. 21–42. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6 

7.   Левитан Б.М. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, вып. 2. С. 102–143.

8.   Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1. М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. лит., 1983. 461 с.

9.   Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика, алгоритмы, cложность, вычислений. Москва: Дрофа, 2005. 320 с.

10.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.

11.   Arestov V.V. A characterization of extremal elements in some linear problems // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P. 22–32. doi: 10.15826/umj.2017.2.004 

12.   Арестов В.В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических полиномов на многомерной евклидовой сфере // Тр. Ин-та математик и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С. 34–47.

13.   Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and $L_q$-norm with ultraspherical weight of algebraic polynomials on an interval // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 4. P. 689–708. doi: 10.1007/s40315-015-0134-y 

14.   Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and $L_q$-norm with Jacobi weight of algebraic polynomials on an interval // Analysis Math. 2016. Vol. 42, no. 2. P. 91–120. doi: 10.1007/s10476-016-0201-2 

15.   Arestov V., Deikalova M., Horváth A. On Nikol’skii type inequality between the uniform norm and the integral q-norm with Laguerre weight of algebraic polynomials on the half-line // J. Approx. Theory. 2017. Vol. 222. P. 40–54. doi: 10.1016/j.jat.2017.05.005 

16.   Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978. 432 c.

17.   Тайков Л.В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов // Успехи мат. наук. 1965. Т. 20, вып. 3. С. 205–211.

18.   Babenko V., Kofanov V., Pichugov S. Comparison of rearrangement and Kolmogorov–Nagy type inequalities for periodic functions // Approximation Theory: A Volume Dedicated to Blagovest Sendov / ed. B. Bojanov. Sofia: Darba, 2002. P. 24–53.

19.   Горбачев Д.В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между C- и L-нормами для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 1. С. 132–134.

20.   Горбачев Д.В. Интегральная задача Конягина и (C,L)-константы Никольского // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 72–91.

21.   Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Изд-во “Гриф и К”, 2005. 152 c.

22.   Ganzburg M., Tikhonov S. On sharp constants in Bernstein–Nikol’skii inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449–466. doi 10.1007/s00365-016-9363-1 

23.   Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышев. сб. 2018. Т. 19, вып. 2. С. 80–89.

Поступила 5.06.2022

После доработки 5.07.2022

Принята к публикации 11.07.2022

Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Дейкалова Марина Валерьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: marina.deikalova@urfu.ru

Ссылка на статью: В.В. Арестов, М.В. Дейкалова. Об одном обобщенном сдвиге и соответствующем неравенстве разных метрик // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 40-53

English

V.V. Arestov, M.V. Deikalova. On one generalized translation and the corresponding inequality of different metrics

On one generalized translation and the corresponding inequality of different metrics. In this paper, we discuss the properties of the generalized translation operator generated by the system of functions $\left\{ \cos\left(\frac{(2k-1)\pi }{2}t\right)\right\}_{k=1}^\infty$, in the spaces $L^p(0,1)$, $p\ge 1.$ The translation operator is applied to the study of Nikol'skii's inequality between the uniform norm and the $L^p$-norm of polynomials in this system.

Keywords: generalized translation operator, trigonometric polynomial, inequality of different metrics

Received June 5, 2022

Revised July 5, 2022

Accepted July 11, 2022

Funding Agency: This work was performed as a part of the research conducted in the Ural Mathematical Center and supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2022-874).

Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Marina Valer’evna Deikalova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; e-mail: marina.deikalova@urfu.ru

Cite this article as: V.V. Arestov, M.V. Deikalova. On one generalized translation and the corresponding inequality of different metrics. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 40–53; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S30–S42.

[References -> on the "English" button bottom right]