Г. Акишев. Об оценках линейных поперечников классов функций многих переменных в пространстве Лоренца ... С. 23-39

УДК 517.51

MSC: 41A10, 41A25, 42A05

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-23-39

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена в рамках грантового финансирования Министерства образования и науки РК (Проект AP08855579 ).

В статье рассматриваются пространства периодических функций многих переменных, а именно, пространство Лоренца $L_{p, \tau}(\mathbb{T}^{m})$, пространство  Никольского — Бесова $S_{p, \tau, \theta}^{\bar{r}}B$ и изучается порядок линейных поперечников класса $S_{p, \tau, \theta}^{\bar{r}}B$. Статья состоит из введения и двух разделов. Во введении даны определения, обозначения, которые используются в статье, и краткая информация о предшествующих результатах по рассматриваемому вопросу. В первом разделе приведены два известных утверждения, которые часто используются в доказательстве основных результатов. Во втором  разделе установлены точные по порядку  оценки линейных поперечников класса  Никольского — Бесова $S_{p, \tau_{1}, \theta}^{\bar{r}}B$ по норме пространства $L_{q, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$  при различных соотношениях между параметрами $p, q, \tau_{1}, \tau_{2}, \theta$.

Ключевые слова: линейный поперечник, пространство Лоренца, класс Никольского — Бесова

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Lorentz G.G. Some new functional spaces// Annals Math. Second ser. 1950. Vol. 51, № 1. P. 37–55. doi: 10.2307/1969496 

2.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 c.

3.   Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

4.   Аманов Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-Ата: Наука, 1976. 224 с.

5.   Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной с декомпозиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 187. С. 143–161.

6.   Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 3. С. 81–120.

7.   Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29, № 3. С. 161–178.

8.   Майоров В.Е. О линейных поперечниках соболевских классов // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 5. С. 1127–1130.

9.   Höllig K. Approximationszahlen von Sobolev-Einbettungen // Math. Annal. 1979. Vol. 242. P. 273–281. doi: 10.1007/BF01420731 

10.   Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 178. С. 1–112.

11.   Галеев Э.М. Линейные поперечники классов периодических функций многих переменных // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1987. № 4. С. 13–16.

12.   Галеев Э.М. Линейные поперечники классов Гельдера — Никольского периодических функций многих переменных // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 2. С. 189–199.

13.   Изаак А.Д. Поперечники классов Гельдера — Никольского и конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 3. С. 459–461.

14.   Романюк А.С. Линейные поперечники классов Бесова периодических функций многих переменных I // Укр. мат. журн. 2001. Т. 53, № 5. С. 647–661.

15.   Романюк А.С. Линейные поперечники классов Бесова периодических функций многих переменных II // Укр. мат. журн. 2001. Т. 53, № 6. С. 965–977.

16.    Романюк А.С. Поперечники и наилучшее приближение классов $B_{p, \theta}^{r}$ периодических функций многих переменных // Anal. Math. 2011. Vol 37. P. 181–213. doi: 10.1007/s10476-011-0303-9 

17.   Романюк А.С. К вопросу о линейных поперечниках классов $B_{p, \theta}^{r}$ периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. 2014. Т. 66, № 7. С. 970–982.

18.   Романюк А.С. Тригонометрические и линейные поперечники классов периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. 2017. Т. 69, № 5. С. 670–681.

19.   Базарханов Д.Б. Оценки некоторых аппроксимативных характеристик пространств Никольского — Бесова обобщенной смешанной гладкости // Докл. РАН. 2009. Т. 426, № 1. С. 11–14.

20.   Малыхин Ю.В., Рютин К.С. Произведение октаэдров плохо приближается в метрике $l_{2, 1}$ // Мат. заметки. 2017. Т. 101, № 1. С. 85–90. doi: 10.4213/mzm11281 

21.   Тихомиров В.М. Теория приближений. Современ. проблемы математики. М.: 1987. C. 103–270.

22.   Dinh Dũng, Temlyakov V.N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. Advanced Courses in Mathematics — CRM Barcelona. Cham: Birkhäuser / Springer, 2018. 222 p. doi: 10.1007/978-3-319-92240-9 

23.   König H. s-numbers of Besov–Lorentz imbeddings // Math. Nachr. 1979. Vol. 91. P. 389–400.

24.   Акишев Г. Оценки наилучших приближений функций класса Никольского — Бесова в пространстве Лоренца тригонометрическими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 5–27. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-5-27 

25.   Глускин Е.Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных множеств // Мат. сб. 1983. Т. 120, № 2. С. 180–189.

26.   Глускин Е.Д. Об одной задаче о поперечниках // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 3. С. 527–530.

27.   Акишев Г. О порядках M-членных приближений классов функций симметричного пространства // Мат. журн. 2014. Т. 14, № 4. С. 46–71.

Поступила 19.05.2022

После доработки 27.10.2022

Принята к публикации 31.10.2022

Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Казахстанский филиал МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Астана;
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: akishev_g@mail.ru

Ссылка на статью: Г. Акишев. Об оценках линейных поперечников классов функций многих переменных в пространстве Лоренца // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 23-39

English

G. Akishev. On estimates of linear widths for classes of multivariate functions in the Lorentz space

We consider spaces of periodic multivariate functions, namely, the Lorentz space $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$ and the Nikol'skii—Besov space $S_{p, \tau, \theta}^{\bar{r}}B$, and study the order of linear widths of the class $S_{p, \tau, \theta}^{\bar{r}}B$. The paper consists of the introduction and two sections. The introduction gives definitions, the notation used in the paper, and brief information on previous results on the issue under consideration. The first section contains two well-known statements that are often used in the proof of the main results. In the second section, order-exact estimates are established for the linear widths of the Nikol'skii—Besov class $S_{p, \tau_{1}, \theta}^{\bar{r}}B$ in the norm of the space $L_{q,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ for different ratios of the parameters $p$, $q$, $\tau_{1}$, $\tau_{2}$, and $\theta$.

Keywords: linear widths, Lorentz space, the Nikol'skii—Besov class

Received May 19, 2022

Revised October 27, 2022

Accepted October 31, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (grant no. AP08855579).

Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Kazakhstan Branch, Lomonosov Moscow University, Astana, 100008 Republic Kazakhstan; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: akishev_g@mail.ru

Cite this article as: G. Akishev. On estimates of linear widths for classes of multivariate functions in the Lorentz space. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 23–39 

[References -> on the "English" button bottom right]