УДК 517.518.86
MSC: 41A17
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-128-136
Полный текст статьи (Full text)
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2022-874).
Во множестве $\mathscr{T}_n$ тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n$ с комплексными коэффициентами рассматривается производная Вейля (дробная производная) $f_n^{(\alpha)}$ вещественного неотрицательного порядка $\alpha$. Изучается точная константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ в неравенстве Бернштейна — Сеге $\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p\|f_n\|_p.$ Такие неравенства иccледуются уже больше 90 лет. Известно, что при $1\le p\le\infty,\,\alpha\ge 1$ и $\theta\in\mathbb R$ константа имеет классическое значение $B_n(\alpha,\theta)_p=n^\alpha$. Случай $p=0$ интересен как минимум по той причине, что константа $B_n(\alpha,\theta)_0$ является наибольшей по $p$ при $p\in[0,\infty]$. В.В. Арестов доказал, что при $r\in\mathbb N$ неравенство Бернштейна в $L_0$ выполняется с константой $B_n(r,0)_0=n^r$, а константа $B_n(\alpha,\pi/2)_0$ в неравенстве Сеге в $L_0$ с ростом $n$ ведет себя как $4^{n+o(n)}$. В 1994 г. В.В. Арестов, а в 2014 В.В. Арестов и П.Ю. Глазырина изучали вопрос об условиях на параметры $n$ и $\alpha$, при которых константа в неравенстве Бернштейна — Сеге принимает классическое значение $n^\alpha$. Недавно автором была доказана гипотеза В.В. Арестова и П.Ю. Глазыриной о том, что при $\alpha\ge 2n-2$ при всех $\theta\in\mathbb R$ неравенство Бернштейна — Сеге выполняется с константой $n^\alpha$. Открытым остается вопрос о точности границы $\alpha=2n-2,$ точнее говоря, вопрос о точной константе при $\alpha<2n-2.$ В данной статье доказано, что для любого $0\le\alpha<n$ найдется $\theta^*(\alpha)$ такое, что $B_n(\alpha, \theta^*(\alpha))_0>n^\alpha.$
Ключевые слова: тригонометрические полиномы, производная Вейля, неравенство Бернштейна — Сеге, пространство $L_0$
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арестов В. В. О неравенствах С.Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1289–1292.
2. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. Математическая. 1981. Т. 45, №1. С. 3–22.
3. Арестов В. В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности // Мат. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 7–18.
4. Арестов В. В. Неравенство Сеге для производных сопряженного тригонометрического полинома в $L_0$ // Мат. заметки. 1994. Т. 56, № 6. С. 10–26.
5. Арестов В. В. Точные неравенства для тригонометрических полиномов относительно интегральных функционалов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 38–53.
6. Арестов В. В., Глазырина П. Ю. Интегральные неравенства для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН. 2012. Т. 442, № 6. С. 727–731.
7. Арестов В. В., Глазырина П. Ю. Неравенство Бернштейна — Сеге для дробных производных тригонометрических полиномов // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 17–31.
8. Леонтьева А. О. Неравенство Бернштейна для производных Вейля тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ // Мат. заметки. 2018. Т. 104, № 2. С. 255–264. doi: 10.4213/mzm11757
9. Леонтьева А. О. Неравенство Бернштейна — Сеге для производных Вейля тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 4. С. 199–207. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-199-207
10. Попов Н. В. Об одном интегральном неравенстве для тригонометрических полиномов // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Междунар. конф.: Воронеж. зим. мат. шк. (28 января — 2 февраля 2021 г.) / Воронеж. гос. ун-т; Москов. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова; Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2021. 334 c.
11. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 638 с.
12. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. М.: Наука, 1978. Т. 1: 391 с.; Т. 2: 431 с.
13. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.
14. Arestov V.V., Glazyrina P.Yu. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials // J. Approx. Theory. 2012. Vol. 164, no. 11. P. 1501–1512. doi: 10.1016/j.jat.2012.08.004
15. Erdélyi T. Arestov’s theorems on Bernstein’s inequality // J. Approx. Theory. 2020. Vol. 250, art. no. 105323. doi: 10.1016/j.jat.2019.105323
16. Leont’eva A. O. Bernstein–Szegő inequality for trigonometric polynomials in $L_p,$ $0\le p\le\infty$ , with the classical value of the best constant // J. Approx. Theory. 2022. Vol. 276, art. no. 105713. doi: 10.1016/j.jat.2022.105713
17. Weyl H. Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung // Vierteljahresschr. Naturforsch. Ges. Zürich. 1917. Bd 62, № 1–2. S. 296–302.
Поступила 20.05.2022
После доработки 25.09.2022
Принята к публикации 3.10.2022
Леонтьева Анастасия Олеговна
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: lao-imm@yandex.ru
Ссылка на статью: А.О. Леонтьева. Неравенство Бернштейна — Сеге для тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ с константой большей, чем классическая // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 128-136
English
A.O. Leont’eva. Bernstein–Szegő inequality for trigonometric polynomials in the space $L_0$ with a constant greater than classical
In the set $\mathscr{T}_n$ of trigonometric polynomials $f_n$ of order $n$ with complex coefficients, the Weyl derivative (fractional derivative) $f_n^{(\alpha)}$ of real nonnegative order $\alpha$ is considered. The exact constant $B_n(\alpha,\theta)_p$ in Bernstein—Szegő inequality $\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta \|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p\|f_n\|_p$ is analyzed. Such inequalities have been studied for more than 90 years. It is known that, for $1\le p\le\infty$, $\alpha\ge 1$, and $\theta\in\mathbb R$, the constant takes the classical value $B_n(\alpha,\theta)_p=n^\alpha$. The case $p=0$ is of interest at least because the constant $B_n(\alpha,\theta)_0$ takes the maximum value in $p$ for $p\in[0,\infty]$. V.V. Arestov proved that, for $r\in\mathbb N$, the Bernstein inequality in $L_0$ holds with the constant $B_n(r,0)_0=n^r$, and the constant $B_n(\alpha,\pi/2)_0$ in the Szegő inequality in $L_0$ behaves as $4^{n+o(n)}$. V.V. Arestov in 1994 and V.V. Arestov and P.Yu. Glazyrina in 2014 studied the question of conditions on the parameters $n$ and $\alpha$ under which the constant in the Bernstein—Szegő inequality takes the classical value $n^\alpha$. Recently, the author has proved Arestov and Glazyrina's conjecture that the Bernstein—Szegő inequality holds with the constant $n^\alpha$ for $\alpha\ge 2n-2$ and all $\theta\in\mathbb R$. The question about the exactness of the bound $\alpha=2n-2$, more precisely, the question of the best constant for $\alpha<2n-2$ remans open. In the present paper, we prove that for any $0\le\alpha<n$ one can find $\theta^*(\alpha)$ such that $B_n(\alpha, \theta^*(\alpha))_0>n^\alpha$.
Keywords: trigonometric polynomials, Weyl derivative, Bernstein—Szegő inequality, space $L_0$
Received May 20, 2022
Revised September 25, 2022
Accepted October 3, 2022
Funding Agency: This study is a part of the research carried out at the Ural Mathematical Center and supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2022-874).
Anastasiya Olegovna Leont’eva, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: lao-imm@yandex.ru
Cite this article as: A.O. Leont’eva. Bernstein–Szegő inequality for trigonometric polynomials in the space $L_0$ with a constant greater than classical, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 128–136
[References -> on the "English" button bottom right]
