УДК 519.65
MSC: 41A46
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-137-142
Исследование выполнено в МГУ имени М.В. Ломоносова за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-11-00129).
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S188–S192. (Abstract)
Рассматривается поперечник класса Соболева $2\pi$-периодических функций с $\|f^{(r)}\|_\infty\le 1$ относительно множества функций $g$, таких что $\|g^{(r)}\|_\infty\le M$ в равномерной метрике: $K_n := K_n(W^r_\infty,MW^r_\infty,L_\infty)$. Доказана оценка снизу на $K_n$ при $M=1+\varepsilon$ с малым $\varepsilon$. Эта оценка вместе с более ранними результатами завершает исследование о поведении величин $K_n$.
Ключевые слова: колмогоровские и относительные поперечники
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихомиров В.М. Теория приближений // Анализ — 2. Итоги науки и техники. Сер. Современ. проблемы математики. Фундамент. направления. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 14. С. 103–260.
2. Коновалов В.Н. Оценки поперечников типа Колмогорова для классов дифференцируемых периодических функций // Мат. заметки. 1984. Т. 35, № 3. С. 369–380.
3. Субботин Ю.Н., Теляковский С.А. Точные значения относительных поперечников классов дифференцируемых функций // Мат. заметки. 1999. Т. 65, № 6. С. 871–879.
4. Tikhomirov V.M. Some remarks on relative diameters // Banach Center Publications. 1989. Т. 22, no. 1. С. 471–474. (Approximation and function spaces: Proc. 27th Semest., Warsaw/Pol. 1986.)
5. Бабенко В.Ф. О наилучших равномерных приближениях сплайнами при наличии ограничений на их производные // Мат. заметки. 1991. Т. 50, № 6. С. 24–30.
6. Малыхин Ю.В. Относительные поперечники классов Соболева в равномерной и интегральной метриках // Тр. МИАН. 2016. Т. 293. С. 217–223.
7. DeVore R.A., Lorentz G.G. Constructive approximation. Berlin; Heidelberg: Springer, 1993, 452 p. doi: 10.1007/978-3-662-02888-9
8. Malykhin Yuri. Widths and rigidty [e-resource]. 2022. 33 p. URL: https://arxiv.org/pdf/2205.03453.pdf
9. Исмагилов Р.С. Об n-мерных поперечниках компактов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его приложения. 1968. Т. 2, № 2. С. 32–39.
Поступила 7.06.2022
После доработки 24.08.2022
Принята к публикации 29.08.2022
Малыхин Юрий Вячеславович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Математический Институт имени В.А. Стеклова РАН;
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: malykhin@mi-ras.ru
Ссылка на статью: Ю.В. Малыхин. Полное описание относительных поперечников классов Соболева в равномерной метрике // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 137-142
English
Yu.V. Malykhin. A complete description of the relative widths of Sobolev classes in the uniform metric
We consider the width of the Sobolev class of $2\pi$-periodic functions with $\|f^{(r)}\|_\infty\le 1$ with respect to the set of functions $g$ such that $\|g^{(r)}\|_\infty\le M$ in the uniform metric $K_n:=K_n(W^r_\infty,MW^r_\infty,L_\infty)$. We prove a lower bound on $K_n$ for $M=1+\varepsilon$ with small $\varepsilon$. This bound together with earlier results completes the anаlysis of the behaviour of $K_n$.
Keywords: Kolmogorov and relative widths
Received June 7, 2022
Revised August 24, 2022
Accepted August 29, 2022
Funding Agency: This research was carried out at Lomonosov Moscow State University with the financial support of the Russian Science Foundation (project no. 22-11-00129).
Yuriy Vyacheslavovich Malykhin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences; Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: malykhin@mi-ras.ru
Cite this article as: Yu.V. Malykhin. A complete description of the relative widths of Sobolev classes in the uniform metric, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 137–142; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S188–S192.
[References -> on the "English" button bottom right]
