В.А. Бойченко. Анизотропия и спектральная энтропия: аксиоматический подход ... С. 53-65

УДК 519.715

MSC: 93A05, 93E03, 93E24

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-53-65

Реальные динамические системы функционируют в условиях различных помех и под влиянием неизвестных внешних воздействий. Поэтому проблема подавления возмущений является чрезвычайно важным разделом теории управления. К числу эффективных подходов к решению этой проблемы относится анизотропийная теория стохастического робастного управления. К сожалению, у этой теории существуют принципиальные ограничения — она применима только к дискретным стохастическим системам и только для стационарных гауссовских последовательностей. В последнее время были предприняты попытки перенести концепции анизотропийной теории на системы с непрерывным временем. В данной работе результаты анизотропийной теории расширены на произвольные случайный сигналы, в частности на последовательности с конечной $l_2$ или мощностной нормой и последовательности с произвольной скоростью роста.

Ключевые слова: линейные системы, анизотропия, спектральная энтропия, $\sigma$-энтропийная норма

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Калман Р.Э. Об общей теории систем управления // Тр. Междунар. конгресса ИФАК. М.: АН СССР, 1961. Т. 2. С. 521–547.

2.   Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов I–IV // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, № 4. С. 436–441; Т. 21, № 5. С. 561–568; Т. 21, № 6. С. 661–665. 1961. Т. 22, № 4. С. 425–435.

3.   Zames G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. Vol. 26, no. 2. P. 301–320. doi: 10.1109/TAC.1981.1102603 

4.   Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to $\mathcal{H}_\infty$-optimization // Proc. 33rd IEEE Conference on Decision and Control (Florida USA). 1994. NY: IEEE, 1994. P. 2249–2250. doi: 10.1109/CDC.1994.411485 

5.   Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // Докл. АН СССР. 1995. Т. 342, № 5. С. 583–585.

6.   Курдюков А.П., Андрианова О.Г., Белов А.А., Гольдин Д.А. Между $LQG/\mathcal{H}_2$ и $\mathcal{H}_\infty$  теориями управления // Автоматика и телемеханика. 2021. № 4. С. 8–76. doi: 10.31857.S0005231021040024 

7.   Boichenko V.A., Belov A.A. On $\sigma$-entropy analysis of linear stochastic systems in state space // System Theory, Control Comput. J. 2021. Vol. 1, no. 1. P. 30–35. doi: 10.52846/stccj.2021.1.1.8 

8.   Kurdyukov A.P., Boichenko V.A. The spectral method of the analysis of linear control systems // Int. J. Appl. Math. Comput. Science. 2019. Vol. 29, no. 4. P. 667–679. doi: 10.2478/amcs-2019-0049 

9.   Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 408 с.

10.   Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

11.   Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., Doyle J. Mixed $\mathcal{H}_2$ and $\mathcal{H}_\infty$  performance objectives I: Robust performance analysis // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. Vol. 39, no. 8. P. 1564–1574. doi: 10.1109/9.310030 

12.   Gu D.-W., Tsai M.C., O’Young S.D., Postlethwaite I. State-space formulae for discrete-time $\mathcal{H}_\infty$ optimization // Int. J. Contr. 1989. Vol. 49, no. 5. P. 1683–1723. doi: 10.1080/00207178908559734 

13.   Tsai M.C. On discrete spectral factorizations — A unify approach // IEEE Trans. Autom. Control. 1993. Vol. 38, no. 10. P. 1563–1567. doi: 10.1109/9.241578 

14.   Bernstein D.S. Matrix mathematics. New Jersey: Princeton University Press, 2005. 726 p.

Поступила 1.06.2022

После доработки 17.06.2022

Принята к публикации 20.06.2022

Бойченко Виктор Александрович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН
г. Москва
e-mail: v.boichenko@gmail.com

Ссылка на статью: В.А. Бойченко. Анизотропия и спектральная энтропия: аксиоматический подход // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 53-65

English

V.A. Boichenko. Anisotropy and spectral entropy: Axiomatic approach

Real-life dynamic systems operate under various disturbances and are affected by unknown external influences. That is why the problem of perturbation suppression is an extremely important branch of control theory. An effective approach to solving this problem is the anisotropic theory of stochastic robust control. Unfortunately, this theory has fundamental limitations — it is applicable only to discrete stochastic systems and only to stationary Gaussian sequences. Recently, attempts have been made to transfer the concepts of anisotropic theory to systems with continuous time. In this paper, the results of anisotropic theory are extended to arbitrary random signals, including both sequences with finite $l_2$ or power norm and sequences with arbitrary growth rate.

Keywords: linear systems, anisotropy, spectral entropy, $\sigma$-entropy norm

Received June 1, 2022

Revised June 17, 2022

Accepted June 20, 2022

Victor Aleksandrovich Boichenko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), V.A.Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, e-mail: v.boichenko@gmail.com

Cite this article as: V.A. Boichenko. Anisotropy and spectral entropy: Axiomatic approach. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 53–65.

[References -> on the "English" button bottom right]