А.Э. Пестовская. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, с ограничением на расположение корней ... С. 166-175

УДК 517.5

MSC: 30C10, 41A10, 30A10

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-166-175

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-21-00526, https://rscf.ru/project/22-21-00526/ .

Рассмотрена задача Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на компакте $K$ с ограничением на расположение корней многочленов, а именно, на множестве $\mathcal{P}_n(G)$ многочленов степени~$n$ с единичным старшим коэффициентом, не обращающихся в нуль в открытом множестве $G$.  Получено точное решение для $K=[-1, 1]$ и $G=\{z\in\mathbb{C}\colon |z|<R\},\, R\ge \varrho_n,$ где $\varrho_n$ — определенная величина, такая что $\varrho_n^2\le (\sqrt{5}-1)/2$.  Для случая ${\rm Conv}\,K \subset \overline{G}$ проведена редукция задач к аналогичным задачам для множества алгебраических многочленов, имеющих все нули на границе $\partial G$ множества $G.$  Вводится понятие постоянной Чебышева $\tau(K, G)$ компакта $K$ относительно открытого множества $G$, получены двусторонние оценки величины $\tau(K, G).$

Ключевые слова: многочлен Чебышева компакта; постоянная Чебышева компакта; ограничения на нули многочлена

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Чебышев П.Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов. // Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева: в 5 т. Т. 2: Математический анализ. М.; Л.: АН СССР, 1947. С. 23–51.

2.   Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного: уч. пос. М.; Л.: Наука ГИТТЛ, 1952. 628 c.

3.   Milovanović G.V., Mitrinović  D.S., Rassias T.M. Topics in polynomials: Extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Scientific Publ. Comp., 1994. 821 p. ISBN: 981-02-0499-X.

4.   Fischer B. Chebyshev polynomials for disjoint compact sets. // Constr. Approx. 1992. Vol. 8, no. 3. P. 309–329. doi: 10.1007/BF01279022 

5.   Peherstorfer F. Minimal polynomials for the compact sets of the complex plane // Constr. Approx. 1996. Vol. 12, no. 4. P. 481–488. doi: 10.1007/BF02437504 

6.   Байрамов Э.Б. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля на квадрате комплексной плоскости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 3. С. 5–15. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-5-15 

7.   Бородин П.А. Об одном условии на многочлен, достаточном для минимальности его нормы на заданном компакте // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2006. № 4. P. 14–18.

8.   Смирнов В.И. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л. : Наука, 1964. 438 с.

9.   Turán P.  Über die Ableitung von Polynomen // Compositio Mathematica. 1939. Vol. 7. P. 89–95.

10.   Glazyrina P.Yu., Révész Sz.Gy. Turán type oscillation inequalities in $L_q$ norm on the boundary of convex domains // Math. Inequal. Appl. 2017. Vol. 20, no. 1. P. 149–180. doi: 10.7153/mia-20-11

11.   Глазырина П.Ю., Ревес С.Д. Неравенства Турана — Эрёда, обратные к неравенству Маркова, для $L_q$-нормы по границе плоской выпуклой области // Тр. МИАН. 2018. Vol. 303. P. 87–115.

12.   Lax P.D. Proof of the conjecture of P. Erdos on the derivative of a polynomial // Bull. Amer. Math. Soc. 1944. Vol. 50, no. 8. P. 509–513. doi: 10.1090/S0002-9904-1944-08177-9 

13.   Akopyan R.R. Certain extremal problems for algebraic polynomials which do not vanish in a disk // East J. Approx. 2003. Vol. 9, no. 2. P. 139–150.

14.   De Bruyn N.G. Inequalities concerning polynomials in the complex domain // Nederl. Akad. Watensh. Proc. 1947. Vol. 50. P. 1265–1272.

15.   Rahman Q.I. and Schmeisser G. $L^p$ inequalities for polynomials // J. Approx. Theory. 1988. Vol. 53, no. 1. P. 26–33. doi: 10.1016/0021-9045(88)90073-1 

16.   Arestov V.V. Integral inequalities for algebraic polynomials with a restriction on their zeros // Anal. Math. 1991. Vol. 17, no. 1. 1. P.11–20. doi: 10.1007/BF02055084 

17.   Malik M.A. On the derivative of a polynomial // J. London. Math. Soc. 1969. Vol. s2-1, no. 1. P. 57–60. doi: 10.1112/jlms/s2-1.1.57 

18.   Akopyan R.R. Turan’s inequality in H2 for algebraic polynomials with restrictions to their zeros // East J. Approx. 2000. Vol. 6, no. 1. P. 103–124.

19.   Erdélyi T. Markov-type inequalities for constrained polynomials with complex coefficients // Illinois J. Math. 1998. Vol. 42, no. 4. P. 544–563. doi: 10.1215/ijm/1255985460 

Поступила 8.04.2022

После доработки 28.06.2022

Принята к публикации 4.07.2022

Пестовская Алена Эдуардовна
магистрант
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: a.e.pestovskaya@mail.ru

Ссылка на статью: А.Э. Пестовская. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, с ограничением на расположение корней // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 166-175

English

A.E. Pestovskaya. Polynomials least deviating from zero with a constraint on the location of roots

We consider Chebyshev's problem on polynomials least deviating from zero on a compact set $K$ with a constraint on the location of their roots. More exactly, the problem is considered on the set $\mathcal{P}_n(G)$ of polynomials of degree $n$ that have unit leading coefficient and do not vanish on an open set $G$. An exact solution is obtained for $K=[-1, 1]$ and $G=\{z\in\mathbb{C}\,:\, |z|<R\}$, $R\ge \varrho_n$, where $\varrho_n$ is a number such that $\varrho_n^2\le (\sqrt{5}-1)/2$. In the case ${\rm Conv}\,K \subset \overline{G}$, the problem is reduced to similar problems for the set of algebraic polynomials all of whose roots lie on the boundary $\partial G$ of the set~$G$. The notion of Chebyshev constant $\tau(K, G)$ of a compact set $K$ with respect to a compact set $G$ is introduced, and two-sided estimates are found for $\tau(K, G)$.

Keywords: Chebyshev polynomial of a compact set, Chebyshev constant of a compact set; constraints on the roots of a polynomial

Received April 8, 2022

Revised June 28, 2022

Accepted July 4, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-21-00526).

Alena Eduardovna Pestovskaya, graduate student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: a.e.pestovskaya@mail.ru

Cite this article as: A.E. Pestovskaya. Polynomials least deviating from zero with a constraint on the location of roots. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 166–175.

[References -> on the "English" button bottom right]