А.А. Осиновская. Оценки числа больших композиционных факторов в ограничениях представлений специальных линейных групп на подсистемные подгруппы типа $A_2$ ... С. 155-165

УДК 512.554.32

MSC: 20G05

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-155-165

Работа выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект Ф21-054).

Описание ограничений неприводимых представлений алгебраических групп на подгруппы, т. е. правила ветвления представлений, является одной из основных проблем теории представлений. Классические правила ветвления были получены Г. Вейлем и Шуром и описывают ограничения представлений классических алгебраических групп ранга $r$ на естественно вложенную классическую подгруппу ранга $r$ или $r-1$ в характеристике 0. В положительной характеристике получение таких правил в явном виде в обозримом будущем маловероятно. Поэтому целесообразно развивать методы исследования модулярных представлений, которые не требуют знания их характеров. Одно из направлений таких исследований — поиск асимптотических аналогов правил ветвления на подгруппы малого ранга. Ограничения модулярных представлений алгебраических групп на подгруппы типа $A_1$ были описаны нами ранее. В данной работе исследуются ограничения неприводимых представлений специальной линейной группы над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики $p$ на подсистемные подгруппы типа $A_2$. Получена оценка числа факторов, больших относительно подгруппы, для ограничений представлений групп ранга 3 и 4.

Ключевые слова: алгебраические группы, специальные линейные группы, модулярные представления, ограничения, композиционные факторы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Andersen H.H., Jantzen J.C., Soergel W. Representations of quantum groups at a pth root of unity and of semisimple groups in characteristic p: independence of p. Paris: Astérisque. 1994. No. 220. 321 p. doi : 10.24033/ast.251 

2.   Fiebig P. An upper bound on the exceptional characteristics for Lusztig’s character formula // J. Reine Angew. Math. 2012. Vol. 673. P. 1–31. doi: 10.1515/CRELLE.2011.170 

3.   Shchigolev V. Weyl submodules in restrictions of simple modules // J. Algebra. 2009. Vol. 321, no. 5. P. 1453–1462. doi: 10.1016/j.jalgebra.2008.11.034 

4.   Osinovskaya A.A. Restrictions of irreducible representations of classical algebraic groups to root $A_1$-subgroups // Commun. in Algebra. 2003. Vol. 31, no. 5. P. 2357–2379. doi: 10.1081/AGB-120019001 

5.   Осиновская А.А. Ограничения представлений специальной линейной группы на подсистемные подгруппы типа $A_2$ // Записки научных семинаров ПОМИ. 2017. Т. 455. С. 130–153.

6.   Osinovskaya A.A., Suprunenko I.D. On the Jordan block structure of images of some unipotent elements in modular irreducible representations of the classical algebraic groups // J. Algebra. 2004. Vol. 273, no. 2. P. 586–600. doi: 10.1016/j.jalgebra.2003.06.001 

7.   Osinovskaya A.A. On the restrictions of modular irreducible representations of algebraic groups of type $A_n$ to naturally embedded subgroups of type $A_2$ // J. Group Theory. 2005. Vol. 8, no. 1. P. 43–92. doi: 10.1515/jgth.2005.8.1.43 

8.   Jantzen J.C. Representations of algebraic groups. 2nd ed. Providence: Americ. Math. Soc., 2003. 576 p. (Ser. Math. Surveys and Monogr.; vol. 107.)

9.   Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. 2-е издание, дополненное. М.: МЦНМО, 2007. 552 с.

Поступила 12.05.2022

После доработки 18.07.2022

Принята к публикации 25.07.2022

Осиновская Анна Александровна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси
г. Минск
e-mail: anna@im.bas-net.by

Ссылка на статью: А.А. Осиновская.  Оценки числа больших композиционных факторов в ограничениях представлений специальных линейных групп на подсистемные подгруппы типа $A_2$ //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.  2022. Т. 28, № 3. С. 155-165

English

A.A. Osinovskaya. Estimates for the number of large composition factors in the restrictions of representations of special linear groups on subsystem subgroups of type $A_2$

One of the main problems of representation theory is the description of the restrictions of irreducible representations of algebraic groups to subgroups, i.e., of the branching rules for representations. H. Weyl and I. Schur obtained the classical branching rules that describe the restrictions of representations of classical algebraic groups of rank $r$ to a naturally embedded classical subgroup of rank $r$ or $r-1$ in the characteristic $0$. In a positive characteristic, obtaining such rules in explicit form in the nearest future is unlikely. Therefore it is reasonable to develop methods for studying the modular representations, which do not require the knowledge of the characters. One of the directions of such studies is finding asymptotic analogs of branching rules to subgroups of small rank. Earlier we described the restrictions of modular representations of algebraic groups to subgroups of type $A_1$. In the present paper we study the restrictions of irreducible representations of the special linear group over an algebraically closed field of positive characteristic $p$ to subsystem subgroups of type $A_2$. An estimate is obtained for the number of factors that are large with respect to the subgroup for representations of groups of rank 3 and 4.

Keywords: algebraic groups, special linear groups, modular representations, restrictions, composition factors

Received May 12, 2022

Revised July 18, 2022

Accepted July 25, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Belarusian Republican Foundation for Basic Research (project no. F21-054).

Anna Aleksandrovna Osinovskaya, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220119 Belarus, e-mail: anna@im.bas-net.by

Cite this article as: A.A. Osinovskaya. Estimates for the number of large composition factors in the restrictions of representations of special linear groups on subsystem subgroups of type $A_2$. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 155–165.

[References -> on the "English" button bottom right]