М.В. Бабенко, В.В. Чермных. Теорема Гильберта о базисе для полукольца косых многочленов ... С. 56-65

УДК 512.55

MSC: 16Y60

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-56-65

В статье изучаются полукольца косых многочленов. Такие полукольца являются обобщениями как полуколец многочленов, так и косых колец многочленов. Пусть $\varphi$ - эндоморфизм полукольца $S$. Левым полукольцом косых многочленов над  $S$ называется множество многочленов вида $f=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k,$ $a_i\in S,$ с обычными сложением и умножением, заданными правилом $xa=\varphi (a)x$. Известно, что полукольцо многочленов над нётеровым полукольцом не обязано быть нётеровым. В 1976 г. Л. Дейл ввел понятие монического идеала полукольца многочленов $S[x]$ над коммутативным полукольцом, т. е. такого идеала, который вместе с любым своим многочленом $f=\ldots+ax^k+\ldots$ содержит любой его одночлен $ax^k$. Было показано, что нётеровость полукольца $S$ влечет обрыв возрастающих цепочек монических идеалов из $S[x]$. В нашей статье исследуются монические идеалы полукольца косых многочленов $S[x,\varphi]$. Для их описания рассматриваются $\varphi$-цепи коэффициентных множеств идеалов полукольца  $S[x,\varphi]$. Основным результатом является доказательство того, что для автоморфизма $\varphi$ левая (правая) нётеровость полукольца $S$ равносильна конечности строго возрастающих цепочек левых (правых) монических идеалов в полукольце $S[x,\varphi]$. Приведены примеры, показывающие, что инъективности эндоморфизма $\varphi$ недостаточно для справедливости сформулированного результата.

Ключевые слова: полукольцо косых многочленов, монический идеал, $\varphi$-цепь коэффициентных множеств, теорема Гильберта о базисе

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ore O. Theory of non-commutative polynomials // Ann. Math. 1933. Vol. 2 (34), no. 3. P. 480–508. doi: 10.2307/1968173 

2.   Hilbert D.A. Grundlagen der Geometrie. Leipzig: Teubner, 1899. 92 p.

3.   Gooderl K.R., Warfield R.B. An introduction to noncommutative Noetherian rings. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004. 370 p. doi: 10.1017/CBO9780511841699 

4.   McConnell J.C., Robson J.C. Noncommutative Noetherian rings. 2000. 636 p. (Graduate Studes in Math.; vol. 30). doi:10.1090/gsm/030  

5.   Dale L. Monic and monic free ideals in polynomial semiring // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 56. P. 45–50. doi: 10.1090/S0002-9939-1976-0404354-8 

6.   Dale L. The k-closure of monic and monic free ideals in a polynomial semiring // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. Vol. 64, no. 2. P. 219–226. doi: 10.2307/2041431 

7.   Бабенко М.В. Пирсовские слои полуколец с некоторыми условиями конечности // Вестн. Сыктывкар. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2021. Вып. 3 (40). C. 4–20. doi: 10.34130/1992-2752_2021_3_4 

8.   Вечтомов Е.М., Чермных В.В. Основные направления развития теории полуколец // Вестн. Сыктывкар. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2021. Вып. 4 (41). C. 4-40. doi: 10.34130/1992-2752_2021_4_4 

9.   Бабенко М.В., Чермных В.В. О полукольце косых многочленов над полукольцом Безу // Мат. заметки. 2022. Т. 111, №3. С. 323–338. doi: 10.4213/mzm13148 

10.   Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦНМО, 2009. 472 с.

11.   Golan J.S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. doi:10.1007/978-94-015-9333-5 

12.   Allen P. J., Dale L. Ideal theory in the semiring $Z^+$ // Publ. Math. Debrecen. 1975. Vol. 22, no. 3–4. P. 219–224.

13.   Вечтомов Е.М., Лубягина Е.Н., Чермных В.В. Элементы теории полуколец. Киров: Радуга-ПРЕСС, 2012. 228 с.

Поступила 20.03.2022

После доработки 30.03.2022

Принята к публикации 4.04.2022

Бабенко Марина Владимировна
старший преподаватель
каф. прикладной математики и информатики
Вятский государственный университет
г. Киров
e-mail: usr11391@vyatsu.ru

Чермных Василий Владимирович
д-р. физ.-мат. наук
главный науч. сотрудник
Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина
г. Сыктывкар
e-mail: vv146@mail.ru

Ссылка на статью: М.В. Бабенко, В.В. Чермных. Теорема Гильберта о базисе для полукольца косых многочленов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 56-65

English

M.V. Babenko, V.V. Chermnykh. Hilbert’s basis theorem for a semiring of skew polynomials

Semirings of skew polynomials are studied. Such semirings are generalizations of both polynomial semirings and skew polynomial rings. Let $\varphi$ be an endomorphism of a semiring $S$. The left semiring of skew polynomials over $S$ is the set of polynomials of the form $f=a_0+a_1x+\ldots +a_kx^k$, $a_i\in S$, with the usual addition and the multiplication given by the rule $xa=\varphi (a)x$. It is known that the semiring of polynomials over a Noetherian semiring does not have to be Noetherian. In 1976, L. Dale introduced the notion of monic ideal of a polynomial semiring $S[x]$ over a commutative semiring, i.e., of an ideal that together with any its polynomial $f=\ldots+ax^k+\ldots$ contains each monomial $ax^k$. It was shown that the Noetherian property of a semiring $S$ implies the ascending chain condition for the monic ideals from $S[x]$. We study the monic ideals of the semiring of skew polynomials $S[x,\varphi]$. To describe them, we define $\varphi$-chains of coefficient sets of ideals from the semiring $S[x,\varphi]$. The main result of the paper is the following fact: if $\varphi$ is an automorphism, then the semiring $S$ is left (right) Noetherian if and only if $S[x,\varphi]$ satisfies the ascending chain condition for the left (right) monic ideals. Examples are given showing that the injectivity of the endomorphism $\varphi$ is not sufficient for the validity of the formulated result.

Keywords: semiring of skew polynomials, monic ideal, $\varphi$-chain of coefficient sets, Hilbert's basis theorem

Received March 20, 2022

Revised March 30, 2022

Accepted April 4, 2022

Marina Vladimirovna Babenko, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Vyatka State University, Kirov, 610000, Russia, usr11391@vyatsu.ru

Vasiliy Vladimirovich Chermnykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Pitirim Sorokin Syktyvkar State University, Syktyvkar, 167001 Russia, vv146@mail.ru

Cite this article as: M.V. Babenko, V.V. Chermnykh. Hilbert’s basis theorem for a semiring of skew polynomials. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 56–65.

[References -> on the "English" button bottom right]