А.Р. Алимов. Томографические характеризационные теоремы для солнц в трехмерных пространствах ... С. 45-55

УДК 517.982.256+517.982.252

MSC: 41A65

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-45-55

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант № 22-11-00129).

Недавно А.Р. Алимов и Б.Б. Беднов охарактеризовали трехмерные пространства, в которых любое чебышёвское множество монотонно линейно связно. В частности, они показали, что чебышёвское множество в трехмерном пространстве с цилиндрической нормой монотонно линейно связно. Автор настоящей работы получил аналогичный результат для замкнутых множеств с непрерывной (полунепрерывной снизу) метрической проекцией. Р. Ауманн установил, что если сечение любой гиперплоскостью компактного подмножества $M$ конечномерного пространства ациклично, то $M$ выпукло. Одно из возможных обобщений выпуклых множеств приводит к понятию солнца — хорошо известно, что любая точка, не лежащая в солнце, отделяется от солнца открытым опорным конусом. В настоящей работе мы рассматриваем задачу томографического описания солнц через аппроксимативно-геометрические свойства их сечений касательными плоскостями. Мы рассматриваем случай трехмерных пространств с цилиндрической нормой. В таких пространствах мы вводим понятие касательной плоскости, обобщающее понятие касательного направления к сфере, введенное А.Р. Алимовым и Е.В. Щепиным. Полученные результаты частично обобщают и развивают указанные выше исследования. Мы даем необходимые и достаточные условия монотонной связности аппроксимативно определяемых множеств в трехмерных цилиндрических пространствах в терминах свойств их сечений касательными плоскостями.

Ключевые слова: наилучшее приближение, чебышёвское множество, солнце, монотонно линейно связное множество

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи мат. наук. 2016. T. 71, № 1. C. 3–84. doi: 10.4213/rm9698 

2.   Алимов А.Р. Выпуклость и монотонная линейная связность множеств с непрерывной метрической проекцией в трехмерных пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. T. 26, № 2 C. 29–46. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-28-46 

3.   Алимов А.Р. Геометрическое строение чебышёвских множеств и солнц в трехмерных пространствах с цилиндрической нормой // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2020. № 5. C. 26–32. doi: 10.3103/S0027132220050022 

4.   Алимов А.Р., Характеризация множеств с непрерывной метрической проекцией в пространстве $\ell^\infty_n$ // Мат. заметки. 2020. T. 108, № 3. C. 323–333. doi: /10.4213/mzm12725А

5.   Alimov A.R., Monotone path-connectedness of strict suns // Lobachevskii J. Math. 2022. Vol. 43, no. 3. P. 1267–1276. doi: 10.1134/S1995080222060038 

6.   Алимов А.Р., Беднов Б.Б. Монотонная линейная связность чебышёвских множеств в трехмерных пространствах // Мат. сб. 2021. T. 212, № 5. C. 37–57. doi: 10.4213/sm9325 

7.   Alimov A.R., Shchepin E.V. Convexity of suns in tangent directions // J. Convex Analysis. 2019. Vol. 26, no. 4. P. 1071–1076.

8.   Alimov A.R., Tsar’kov I. G. Smoothness of subspace sections of the unit balls of $C (Q)$  and $L^1$  // J. Approx. Theory. 2021. Vol. 265. Art. no. 105552. doi: 10.1016/j.jat.2021.105552 

9.   Aumann G., On a topological characterization of compact convex point sets // Ann. of Math. 1936. Vol. 37. P. 443–447. doi: 10.2307/1968456 

10.   Беднов Б.Б. Конечномерные пространства, в которых класс чебышевских множеств совпадает с классом замкнутых и монотонно линейно связных множеств // Мат. заметки. 2022. T. 111, № 4. C. 483–493. doi: 10.4213/mzm13314 

11.   Bendit T. Chebyshev subsets of a Hilbert space sphere // J. Austral. Math. Soc. 2019. Vol. 107, no. 3. P. 289–301. doi: 10.1017/S1446788719000508 

12.   Bingham N.H. The life, work, and legacy of P. L. Chebyshev // Theory Probab. Appl. 2022. Vol. 66, no. 4. P. 506–521. doi: /10.4213/tvp5515 

13.   Boltyanski V., Martini H., Soltan P.S. Excursions into combinatorial geometry. Berlin: Springer, 1997. 427 p.

14.   Brosowski B., Deutsch F. On some geometric properties of suns // J. Approx. Theory. 1974. Vol. 10, no. 3. P. 245–267. doi: /10.1016/0021-9045(74)90122-1 

15.   Brown A.L. Suns in normed linear spaces which are finite dimensional // Math. Ann. 1987. Vol. 279, no. 1. P. 87–101. doi: 10.1007/BF01456192 

16.   Лебедев П.Д., Успенский А.А. Об аналитическом построении решений в одном классе задач управления по быстродействию с невыпуклым целевым множеством // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Vol. 27, no. 3. P. 128–140. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-128-140 

17.   Montejano L., Shchepin E. Topological tomography in convexity // Bull. London Math. Soc. 2002. Vol. 34, no. 3. P. 353–358. doi: 10.1112/S0024609301008700 

18.   Nath T. Differentiability of distance function and the proximinal condition implying convexity // J. Analysis 2021. Vol. 29, no. 1. P. 247–261. doi: 10.1007/s41478-020-00259-5 

19.   Царьков И.Г. Слабо монотонные множества и непрерывная выборка в несимметричных пространствах // Мат. сб. 2019. Vol. 210, № 9. P. 129–155. doi:: 10.4213/sm9107А

20.   Царьков И.Г. Геометрия особого множества гиперповерхностей и уравнение эйконала // Мат. заметки. 2020. Vol. 108, № 3. P. 441–451. doi: 10.4213/mzm12659 

21.   Царьков И.Г. Свойства монотонно линейно связных множеств // Изв. РАН. Сер. математическая. 2021. V. 85, №. 2. C. 142–171. doi: doi.org/10.4213/im8995 

22.   Царьков И.Г. Свойства монотонно связных множеств // Мат. заметки. 2021. Vol. 109, № 5. C. 781–792. doi: 10.4213/mzm12890 

23.   Tsar’kov I.G. Properties of suns in the spaces $L^ 1$ and $C (Q)$ // Russian J. Math. Physics. 2021. Vol. 28. no. 3. P. 398–405. doi: 10.1134/S1061920821030122 

24.   Царьков И.Г. Солнечность и связность множеств в пространстве $C[a,b]$  и конечномерных полиэдральных пространствах // Мат. сб. 2022. Vol. 213, № 2. C. 149–166. doi: 10.4213/sm9554 

25.   Ширяев А. Н. К 200-летию со дня рождения великого русского математика П. Л. Чебышёва // Теория вероятности и ее применение. 2021. Vol. 66, № 4. C. 625–635. doi: 10.4213/tvp5523 

Поступила 25.04.2022

После доработки 18.05.2022

Принята к публикации 20.05.2022

Алимов Алексей Ростиславович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук;
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
механико-математический факультет
Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru

Ссылка на статью: А.Р. Алимов. Томографические характеризационные теоремы для солнц в трехмерных пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 45-55

English

A.R. Alimov. Tomographic characterizations of suns in three-dimensional spaces

Recently A. R. Alimov and B. B. Bednov characterized the three-dimensional spaces in which any Chebyshev set is monotone path-connected. In particular, they showed that any Chebyshev set in a three-dimensional space with cylindrical norm is monotone path-connected. The author of the present paper obtained a similar result for closed sets with continuous (lower semicontinuous) metric projection. R. Aumann established that if the section of a compact subset $M$ of a finite-dimensional space by any hyperplane is acyclic, then $M$ is convex. A sun is considered as a possible generalization of a convex set — it is well known that any point not lying in a sun can be separated from it by an open support cone. In the present paper, we consider the problem of tomographic classification of suns in terms of approximative and geometric properties of their sections by tangent planes. We consider the case of three-dimensional spaces with cylindrical norm. In these spaces, we introduce the notion of a tangent plane, which generalizes the notion of a tangent direction to a sphere introduced by A. R. Alimov and E. V. Shchepin. The results obtained in the paper partially generalize and extend the mentioned studies. We give necessary and sufficient conditions for the monotone path-connectedness of approximatively defined sets in three-dimensional cylindrical spaces in terms of approximative and geometric properties of their sections by tangent planes.

Keywords: best approximation, Chebyshev set, sun, monotone path-connected set

Received April 25, 2022

Revised May 18, 2022

Accepted May 20, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project 22-11-00129).

Alexey R. Alimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119899 Russia, Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics, e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru

Cite this article as: A.R. Alimov. Tomographic characterizations of suns in three-dimensional spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 45–55.

[References -> on the "English" button bottom right]